Cálculo Exemplos

$y = \ln (\frac{x}{x - 1})$

Etapa 1

Multiplique a equação por $x - 1$ .

$(x - 1) (y) = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $(x - 1) (y)$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x y - 1 y = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Etapa 2.1.2

Reescreva $- 1 y$ como $- y$ .

$x y - y = (\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$

Etapa 3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1

Simplifique $(\ln (\frac{x}{x - 1})) (x - 1)$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x + \ln (\frac{x}{x - 1}) \cdot - 1$

Etapa 3.1.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $\ln (\frac{x}{x - 1})$ .

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x - 1 \cdot \ln (\frac{x}{x - 1})$

Etapa 3.1.2

Reescreva $- 1 \ln (\frac{x}{x - 1})$ como $- \ln (\frac{x}{x - 1})$ .

$x y - y = \ln (\frac{x}{x - 1}) x - \ln (\frac{x}{x - 1})$

Etapa 3.1.3

Reordene os fatores em $\ln (\frac{x}{x - 1}) x - \ln (\frac{x}{x - 1})$ .

$x y - y = x \ln (\frac{x}{x - 1}) - \ln (\frac{x}{x - 1})$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- x \ln (\frac{x}{x - 1}) + \ln (\frac{x}{x - 1}) = - x y + y$

Etapa 5

Reescreva a equação como $\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$ .

$\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$

Etapa 6

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (\frac{x}{x - 1})} = e^{y}$

Etapa 7

Reescreva $\ln (\frac{x}{x - 1}) = y$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{y} = \frac{x}{x - 1}$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Multiplique a equação por $x - 1$ .

$(x - 1) (e^{y}) = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Simplifique $(x - 1) (e^{y})$ .

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Etapa 8.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x e^{y} - 1 e^{y} = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Etapa 8.2.1.2

Reescreva $- 1 e^{y}$ como $- e^{y}$ .

$x e^{y} - e^{y} = (\frac{x}{x - 1}) (x - 1)$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum.

$x e^{y} - e^{y} = \frac{x}{x - 1} (x - 1)$

Etapa 8.3.1.2

Reescreva a expressão.

$x e^{y} - e^{y} = x$

Etapa 8.4

Resolva $x$ .

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Etapa 8.4.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x e^{y} - e^{y} - x = 0$

Etapa 8.4.2

Some $e^{y}$ aos dois lados da equação.

$x e^{y} - x = e^{y}$

Etapa 8.4.3

Fatore $x$ de $x e^{y} - x$ .

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Etapa 8.4.3.1

Fatore $x$ de $x e^{y}$ .

$x (e^{y}) - x = e^{y}$

Etapa 8.4.3.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$x (e^{y}) + x \cdot - 1 = e^{y}$

Etapa 8.4.3.3

Fatore $x$ de $x (e^{y}) + x \cdot - 1$ .

$x (e^{y} - 1) = e^{y}$

Etapa 8.4.4

Divida cada termo em $x (e^{y} - 1) = e^{y}$ por $e^{y} - 1$ e simplifique.

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Etapa 8.4.4.1

Divida cada termo em $x (e^{y} - 1) = e^{y}$ por $e^{y} - 1$ .

$\frac{x (e^{y} - 1)}{e^{y} - 1} = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$

Etapa 8.4.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.4.4.2.1

Cancele o fator comum de $e^{y} - 1$ .

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Etapa 8.4.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (e^{y} - 1)}{e^{y} - 1} = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$

Etapa 8.4.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{e^{y}}{e^{y} - 1}$