Cálculo Exemplos

$3 \sin^{2} (x) = \cos^{2} (x)$ , $0 < x < 2 π$

Etapa 1

Subtraia $\cos^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$3 \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 2

Substitua $3 \sin^{2} (x)$ por $3 (1 - \cos^{2} (x))$ com base na identidade $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$3 (1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 \cdot 1 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 3.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 + 3 (- \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 3.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$3 - 3 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 4

Subtraia $\cos^{2} (x)$ de $- 3 \cos^{2} (x)$ .

$3 - 4 \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 5

Reordene o polinômio.

$- 4 \cos^{2} (x) + 3 = 0$

Etapa 6

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$- 4 \cos^{2} (x) = - 3$

Etapa 7

Divida cada termo em $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ e simplifique.

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Etapa 7.1

Divida cada termo em $- 4 \cos^{2} (x) = - 3$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 7.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 \cos^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $\cos^{2} (x)$ por $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 3}{- 4}$

Etapa 7.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\cos^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Etapa 8

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Etapa 9

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Etapa 9.1

Reescreva $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 9.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 10

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 10.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 10.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 10.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 11

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 12

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 12.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 12.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 12.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{6}$

Etapa 12.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 12.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 12.4.2

Combine frações.

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Etapa 12.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 12.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 12.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.4.3.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - π}{6}$

Etapa 12.4.3.2

Subtraia $π$ de $12 π$ .

$x = \frac{11 π}{6}$

Etapa 12.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 12.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Etapa 13.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 13.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 13.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{6}$

Etapa 13.4

Simplifique $2 π - \frac{5 π}{6}$ .

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Etapa 13.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Etapa 13.4.2

Combine frações.

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Etapa 13.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{5 π}{6}$

Etapa 13.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 6 - 5 π}{6}$

Etapa 13.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 13.4.3.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{12 π - 5 π}{6}$

Etapa 13.4.3.2

Subtraia $5 π$ de $12 π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Etapa 13.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 13.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 13.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 13.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 13.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 13.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15

Consolide as soluções.

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Etapa 15.1

Consolide $\frac{π}{6} + 2 π n$ e $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ em $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 15.2

Consolide $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ e $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ em $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 16

Encontre os valores de $n$ que produzem um valor dentro do intervalo $(0, 2 π)$ .

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Etapa 16.1

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $(0, 2 π)$ .

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Etapa 16.1.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{π}{6} + π (0)$

Etapa 16.1.2

Simplifique.

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Etapa 16.1.2.1

Multiplique $π$ por $0$ .

$\frac{π}{6} + 0$

Etapa 16.1.2.2

Some $\frac{π}{6}$ e $0$ .

$\frac{π}{6}$

Etapa 16.1.3

O intervalo $(0, 2 π)$ contém $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 16.2

Substitua $0$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $(0, 2 π)$ .

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Etapa 16.2.1

Substitua $0$ por $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (0)$

Etapa 16.2.2

Simplifique.

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Etapa 16.2.2.1

Multiplique $π$ por $0$ .

$\frac{5 π}{6} + 0$

Etapa 16.2.2.2

Some $\frac{5 π}{6}$ e $0$ .

$\frac{5 π}{6}$

Etapa 16.2.3

O intervalo $(0, 2 π)$ contém $\frac{5 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Etapa 16.3

Substitua $1$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $(0, 2 π)$ .

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Etapa 16.3.1

Substitua $1$ por $n$ .

$\frac{π}{6} + π (1)$

Etapa 16.3.2

Simplifique.

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Etapa 16.3.2.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{π}{6} + π$

Etapa 16.3.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 16.3.2.3

Combine frações.

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Etapa 16.3.2.3.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Etapa 16.3.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π + π \cdot 6}{6}$

Etapa 16.3.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 16.3.2.4.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{π + 6 \cdot π}{6}$

Etapa 16.3.2.4.2

Some $π$ e $6 π$ .

$\frac{7 π}{6}$

Etapa 16.3.3

O intervalo $(0, 2 π)$ contém $\frac{7 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}$

Etapa 16.4

Substitua $1$ por $n$ e simplifique para saber se a solução está contida em $(0, 2 π)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.4.1

Substitua $1$ por $n$ .

$\frac{5 π}{6} + π (1)$

Etapa 16.4.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.4.2.1

Multiplique $π$ por $1$ .

$\frac{5 π}{6} + π$

Etapa 16.4.2.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + π \cdot \frac{6}{6}$

Etapa 16.4.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.4.2.3.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{5 π}{6} + \frac{π \cdot 6}{6}$

Etapa 16.4.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{5 π + π \cdot 6}{6}$

Etapa 16.4.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.4.2.4.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{5 π + 6 \cdot π}{6}$

Etapa 16.4.2.4.2

Some $5 π$ e $6 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Etapa 16.4.3

O intervalo $(0, 2 π)$ contém $\frac{11 π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, \frac{7 π}{6}, \frac{11 π}{6}$