Cálculo Exemplos

Encontre a Concavidade (x^2)/(x^2-4)
Etapa 1
Escreva como uma função.
Etapa 2
Find the values where the second derivative is equal to .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
Encontre a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1.1
Diferencie usando a regra do quociente, que determina que é , em que e .
Etapa 2.1.1.2
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1.2.1
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.1.1.2.2
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.1.1.2.3
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.1.1.2.4
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.1.1.2.5
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.1.1.2.6
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1.2.6.1
Some e .
Etapa 2.1.1.2.6.2
Multiplique por .
Etapa 2.1.1.3
Eleve à potência de .
Etapa 2.1.1.4
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.1.1.5
Some e .
Etapa 2.1.1.6
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1.6.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.1.1.6.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.1.1.6.3
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1.6.3.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1.6.3.1.1
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1.6.3.1.1.1
Mova .
Etapa 2.1.1.6.3.1.1.2
Multiplique por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1.6.3.1.1.2.1
Eleve à potência de .
Etapa 2.1.1.6.3.1.1.2.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.1.1.6.3.1.1.3
Some e .
Etapa 2.1.1.6.3.1.2
Multiplique por .
Etapa 2.1.1.6.3.2
Combine os termos opostos em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1.6.3.2.1
Subtraia de .
Etapa 2.1.1.6.3.2.2
Some e .
Etapa 2.1.1.6.4
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2.1.1.6.5
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1.6.5.1
Reescreva como .
Etapa 2.1.1.6.5.2
Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, em que e .
Etapa 2.1.1.6.5.3
Aplique a regra do produto a .
Etapa 2.1.2
Encontre a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.1.2.2
Diferencie usando a regra do quociente, que determina que é , em que e .
Etapa 2.1.2.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.3.1
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.1.2.3.2
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.4
Diferencie usando a regra do produto, que determina que é , em que e .
Etapa 2.1.2.5
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.5.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 2.1.2.5.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.1.2.5.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 2.1.2.6
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.6.1
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.1.2.6.2
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.1.2.6.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.1.2.6.4
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.1.2.6.5
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.6.5.1
Some e .
Etapa 2.1.2.6.5.2
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.7
Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que é , em que e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.7.1
Para aplicar a regra da cadeia, defina como .
Etapa 2.1.2.7.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.1.2.7.3
Substitua todas as ocorrências de por .
Etapa 2.1.2.8
Diferencie.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.8.1
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.1.2.8.2
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.1.2.8.3
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.1.2.8.4
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.1.2.8.5
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.8.5.1
Some e .
Etapa 2.1.2.8.5.2
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.8.5.3
Combine e .
Etapa 2.1.2.8.5.4
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2.1.2.9
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.1
Aplique a regra do produto a .
Etapa 2.1.2.9.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.1.2.9.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.1.2.9.4
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.4.1
Fatore de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.4.1.1
Fatore de .
Etapa 2.1.2.9.4.1.2
Fatore de .
Etapa 2.1.2.9.4.1.3
Fatore de .
Etapa 2.1.2.9.4.1.4
Fatore de .
Etapa 2.1.2.9.4.1.5
Fatore de .
Etapa 2.1.2.9.4.2
Combine expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.4.2.1
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.9.4.2.2
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.9.4.3
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.4.3.1
Expanda usando o método FOIL.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.4.3.1.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.1.2.9.4.3.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.1.2.9.4.3.1.3
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.1.2.9.4.3.2
Combine os termos opostos em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.4.3.2.1
Reorganize os fatores nos termos e .
Etapa 2.1.2.9.4.3.2.2
Some e .
Etapa 2.1.2.9.4.3.2.3
Some e .
Etapa 2.1.2.9.4.3.3
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.4.3.3.1
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.9.4.3.3.2
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.9.4.3.4
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.1.2.9.4.3.5
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.4.3.5.1
Mova .
Etapa 2.1.2.9.4.3.5.2
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.9.4.3.6
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.9.4.3.7
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 2.1.2.9.4.3.8
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.4.3.8.1
Mova .
Etapa 2.1.2.9.4.3.8.2
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.9.4.3.9
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.9.4.4
Combine os termos opostos em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.4.4.1
Some e .
Etapa 2.1.2.9.4.4.2
Some e .
Etapa 2.1.2.9.4.5
Subtraia de .
Etapa 2.1.2.9.4.6
Subtraia de .
Etapa 2.1.2.9.5
Combine os termos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.5.1
Multiplique os expoentes em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.5.1.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 2.1.2.9.5.1.2
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.9.5.2
Multiplique os expoentes em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.5.2.1
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 2.1.2.9.5.2.2
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.9.5.3
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.5.3.1
Fatore de .
Etapa 2.1.2.9.5.3.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.5.3.2.1
Fatore de .
Etapa 2.1.2.9.5.3.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 2.1.2.9.5.3.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 2.1.2.9.5.4
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.5.4.1
Fatore de .
Etapa 2.1.2.9.5.4.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.9.5.4.2.1
Fatore de .
Etapa 2.1.2.9.5.4.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 2.1.2.9.5.4.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 2.1.2.9.6
Fatore de .
Etapa 2.1.2.9.7
Reescreva como .
Etapa 2.1.2.9.8
Fatore de .
Etapa 2.1.2.9.9
Reescreva como .
Etapa 2.1.2.9.10
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2.1.2.9.11
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.9.12
Multiplique por .
Etapa 2.1.3
A segunda derivada de com relação a é .
Etapa 2.2
Defina a segunda derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1
Defina a segunda derivada como igual a .
Etapa 2.2.2
Defina o numerador como igual a zero.
Etapa 2.2.3
Resolva a equação para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.1
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.1.1
Divida cada termo em por .
Etapa 2.2.3.1.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.1.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.1.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 2.2.3.1.2.1.2
Divida por .
Etapa 2.2.3.1.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.1.3.1
Divida por .
Etapa 2.2.3.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 2.2.3.3
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.3.1
Divida cada termo em por .
Etapa 2.2.3.3.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.3.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.3.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 2.2.3.3.2.1.2
Divida por .
Etapa 2.2.3.3.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.3.3.1
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 2.2.3.4
Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.
Etapa 2.2.3.5
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.5.1
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.5.1.1
Reescreva como .
Etapa 2.2.3.5.1.2
Reescreva como .
Etapa 2.2.3.5.2
Elimine os termos abaixo do radical.
Etapa 2.2.3.5.3
Eleve à potência de .
Etapa 2.2.3.5.4
Reescreva como .
Etapa 2.2.3.5.5
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.5.5.1
Reescreva como .
Etapa 2.2.3.5.5.2
Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.
Etapa 2.2.3.5.6
Multiplique por .
Etapa 2.2.3.5.7
Combine e simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.5.7.1
Multiplique por .
Etapa 2.2.3.5.7.2
Eleve à potência de .
Etapa 2.2.3.5.7.3
Eleve à potência de .
Etapa 2.2.3.5.7.4
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 2.2.3.5.7.5
Some e .
Etapa 2.2.3.5.7.6
Reescreva como .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.5.7.6.1
Use para reescrever como .
Etapa 2.2.3.5.7.6.2
Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, .
Etapa 2.2.3.5.7.6.3
Combine e .
Etapa 2.2.3.5.7.6.4
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.5.7.6.4.1
Cancele o fator comum.
Etapa 2.2.3.5.7.6.4.2
Reescreva a expressão.
Etapa 2.2.3.5.7.6.5
Avalie o expoente.
Etapa 2.2.3.5.8
Combine e .
Etapa 2.2.3.5.9
Mova para a esquerda de .
Etapa 2.2.3.6
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.3.6.1
Primeiro, use o valor positivo de para encontrar a primeira solução.
Etapa 2.2.3.6.2
Depois, use o valor negativo de para encontrar a segunda solução.
Etapa 2.2.3.6.3
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Etapa 3
Encontre o domínio de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
Defina o denominador em como igual a para encontrar onde a expressão está indefinida.
Etapa 3.2
Resolva .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.1
Some aos dois lados da equação.
Etapa 3.2.2
Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.
Etapa 3.2.3
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.3.1
Reescreva como .
Etapa 3.2.3.2
Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.
Etapa 3.2.4
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.2.4.1
Primeiro, use o valor positivo de para encontrar a primeira solução.
Etapa 3.2.4.2
Depois, use o valor negativo de para encontrar a segunda solução.
Etapa 3.2.4.3
A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.
Etapa 3.3
O domínio consiste em todos os valores de que tornam a expressão definida.
Notação de intervalo:
Notação de construtor de conjuntos:
Notação de intervalo:
Notação de construtor de conjuntos:
Etapa 4
Crie intervalos em torno dos valores , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.
Etapa 5
Substitua qualquer número do intervalo na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 5.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.1
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 5.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 5.2.1.3
Some e .
Etapa 5.2.2
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.2.1
Some e .
Etapa 5.2.2.2
Subtraia de .
Etapa 5.2.2.3
Eleve à potência de .
Etapa 5.2.2.4
Eleve à potência de .
Etapa 5.2.3
Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 5.2.3.2
Multiplique por .
Etapa 5.2.3.3
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.3.3.1
Fatore de .
Etapa 5.2.3.3.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.3.3.2.1
Fatore de .
Etapa 5.2.3.3.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 5.2.3.3.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 5.2.4
A resposta final é .
Etapa 5.3
O gráfico tem concavidade para cima no intervalo porque é positivo.
Concavidade para cima em , já que é positivo
Concavidade para cima em , já que é positivo
Etapa 6
Substitua qualquer número do intervalo na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 6.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.1
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.1.1
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 6.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 6.2.1.3
Some e .
Etapa 6.2.2
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.2.1
Reescreva como .
Etapa 6.2.2.2
Reescreva como .
Etapa 6.2.2.3
Fatore de .
Etapa 6.2.2.4
Aplique a regra do produto a .
Etapa 6.2.2.5
Eleve à potência de .
Etapa 6.2.2.6
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.2.6.1
Mova .
Etapa 6.2.2.6.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 6.2.2.6.3
Some e .
Etapa 6.2.3
Multiplique por .
Etapa 6.2.4
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.4.1
Subtraia de .
Etapa 6.2.4.2
Eleve à potência de .
Etapa 6.2.5
Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.5.1
Multiplique por .
Etapa 6.2.5.2
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.5.2.1
Fatore de .
Etapa 6.2.5.2.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.2.5.2.2.1
Fatore de .
Etapa 6.2.5.2.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 6.2.5.2.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 6.2.5.3
Mova o número negativo para a frente da fração.
Etapa 6.2.6
A resposta final é .
Etapa 6.3
O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo porque é negativo.
Concavidade para baixo em , já que é negativo
Concavidade para baixo em , já que é negativo
Etapa 7
Substitua qualquer número do intervalo na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 7.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.1
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 7.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 7.2.1.3
Some e .
Etapa 7.2.2
Simplifique o denominador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.2.1
Some e .
Etapa 7.2.2.2
Subtraia de .
Etapa 7.2.2.3
Eleve à potência de .
Etapa 7.2.2.4
Eleve à potência de .
Etapa 7.2.3
Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.3.1
Multiplique por .
Etapa 7.2.3.2
Multiplique por .
Etapa 7.2.3.3
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.3.3.1
Fatore de .
Etapa 7.2.3.3.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.3.3.2.1
Fatore de .
Etapa 7.2.3.3.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 7.2.3.3.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 7.2.4
A resposta final é .
Etapa 7.3
O gráfico tem concavidade para cima no intervalo porque é positivo.
Concavidade para cima em , já que é positivo
Concavidade para cima em , já que é positivo
Etapa 8
O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.
Concavidade para cima em , já que é positivo
Concavidade para baixo em , já que é negativo
Concavidade para cima em , já que é positivo
Etapa 9