Cálculo Exemplos

$x = 4 + y^{2}$

Etapa 1

Reordene $4$ e $y^{2}$ .

$x = y^{2} + 4$

Etapa 2

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Complete o quadrado de $y^{2} + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 0$

$c = 4$

Etapa 2.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.3.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (1)}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$d = \frac{0}{1}$

Etapa 2.1.1.3.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$d = 0$

Etapa 2.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 4 - \frac{0^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = 4 - \frac{0}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 4 - \frac{0}{4}$

Etapa 2.1.1.4.2.1.3

Divida $0$ por $4$ .

$e = 4 - 0$

Etapa 2.1.1.4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = 4 + 0$

Etapa 2.1.1.4.2.2

Some $4$ e $0$ .

$e = 4$

Etapa 2.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y + 0)}^{2} + 4$ .

${(y + 0)}^{2} + 4$

Etapa 2.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = {(y + 0)}^{2} + 4$

Etapa 2.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = 4$

$k = 0$

Etapa 2.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 2.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(4, 0)$

Etapa 2.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 2.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 2.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 2.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 2.6

Encontre o foco.

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Etapa 2.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 2.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(\frac{17}{4}, 0)$

Etapa 2.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = 0$

Etapa 2.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 2.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 2.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = \frac{15}{4}$

Etapa 2.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(4, 0)$

Foco: $(\frac{17}{4}, 0)$

Eixo de simetria: $y = 0$

Diretriz: $x = \frac{15}{4}$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(4, 0)$

Foco: $(\frac{17}{4}, 0)$

Eixo de simetria: $y = 0$

Diretriz: $x = \frac{15}{4}$

Etapa 3

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 3.1

Substitua o valor $x$ $5$ em $f (x) = \sqrt{x - 4}$ . Nesse caso, o ponto é $(5, 1)$ .

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Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = \sqrt{(5) - 4}$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Subtraia $4$ de $5$ .

$f (5) = \sqrt{1}$

Etapa 3.1.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (5) = 1$

Etapa 3.1.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 3.1.3

Converta $1$ em decimal.

$= 1$

Etapa 3.2

Substitua o valor $x$ $5$ em $f (x) = - \sqrt{x - 4}$ . Nesse caso, o ponto é $(5, - 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = - \sqrt{(5) - 4}$

Etapa 3.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Subtraia $4$ de $5$ .

$f (5) = - \sqrt{1}$

Etapa 3.2.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (5) = - 1 \cdot 1$

Etapa 3.2.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (5) = - 1$

Etapa 3.2.2.4

A resposta final é $- 1$ .

$y = - 1$

Etapa 3.2.3

Converta $- 1$ em decimal.

$= - 1$

Etapa 3.3

Substitua o valor $x$ $6$ em $f (x) = \sqrt{x - 4}$ . Nesse caso, o ponto é $(6, 1.41421356)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = \sqrt{(6) - 4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Subtraia $4$ de $6$ .

$f (6) = \sqrt{2}$

Etapa 3.3.2.2

A resposta final é $\sqrt{2}$ .

$y = \sqrt{2}$

Etapa 3.3.3

Converta $\sqrt{2}$ em decimal.

$= 1.41421356$

Etapa 3.4

Substitua o valor $x$ $6$ em $f (x) = - \sqrt{x - 4}$ . Nesse caso, o ponto é $(6, - 1.41421356)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Substitua a variável $x$ por $6$ na expressão.

$f (6) = - \sqrt{(6) - 4}$

Etapa 3.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.2.1

Subtraia $4$ de $6$ .

$f (6) = - \sqrt{2}$

Etapa 3.4.2.2

A resposta final é $- \sqrt{2}$ .

$y = - \sqrt{2}$

Etapa 3.4.3

Converta $- \sqrt{2}$ em decimal.

$= - 1.41421356$

Etapa 3.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 0 \\ 5 & 1 \\ 5 & - 1 \\ 6 & 1.41 \\ 6 & - 1.41 \end{array}$

Etapa 4

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(4, 0)$

Foco: $(\frac{17}{4}, 0)$

Eixo de simetria: $y = 0$

Diretriz: $x = \frac{15}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & 0 \\ 5 & 1 \\ 5 & - 1 \\ 6 & 1.41 \\ 6 & - 1.41 \end{array}$

Etapa 5