Cálculo Exemplos

$x = y^{2} - 5 y$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Complete o quadrado de $y^{2} - 5 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 5$

$c = 0$

Etapa 1.1.1.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.1.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 5}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$d = \frac{- 5}{2}$

Etapa 1.1.1.3.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$d = - \frac{5}{2}$

Etapa 1.1.1.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 5)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.1.1.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$e = 0 - \frac{25}{4}$

Etapa 1.1.1.4.2.2

Subtraia $\frac{25}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{25}{4}$

Etapa 1.1.1.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice ${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$ .

${(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Etapa 1.1.2

Defina $x$ como igual ao novo lado direito.

$x = {(y - \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4}$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = 1$

$h = - \frac{25}{4}$

$k = \frac{5}{2}$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para a direita.

Abre para a direita

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{4 \cdot 1}$

Etapa 1.5.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{4}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

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Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada x $h$ , se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$(h + p, k)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(- 6, \frac{5}{2})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$y = \frac{5}{2}$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta vertical encontrada ao subtrair $p$ da coordenada x $h$ do vértice se a parábola abrir para a esquerda ou a direita.

$x = h - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $h$ na fórmula e simplifique.

$x = - \frac{13}{2}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Foco: $(- 6, \frac{5}{2})$

Eixo de simetria: $y = \frac{5}{2}$

Diretriz: $x = - \frac{13}{2}$

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Foco: $(- 6, \frac{5}{2})$

Eixo de simetria: $y = \frac{5}{2}$

Diretriz: $x = - \frac{13}{2}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 2.1

Substitua o valor $x$ $- 5.25$ em $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 5.25, 3.5)$ .

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Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 5.25$ na expressão.

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Multiplique $4$ por $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 21}}{2}$

Etapa 2.1.2.1.2

Subtraia $21$ de $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{4}}{2}$

Etapa 2.1.2.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 + \sqrt{2^{2}}}{2}$

Etapa 2.1.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 5.25) = \frac{5 + 2}{2}$

Etapa 2.1.2.1.5

Some $5$ e $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

Etapa 2.1.2.2

Cancele o fator comum de $7$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Reescreva $7$ como $1 (7)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 (7)}{2}$

Etapa 2.1.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.2.1

Reescreva $2$ como $1 (2)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

Etapa 2.1.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 7}{1 \cdot 2}$

Etapa 2.1.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 5.25) = \frac{7}{2}$

Etapa 2.1.2.3

A resposta final é $\frac{7}{2}$ .

$y = \frac{7}{2}$

Etapa 2.1.3

Converta $\frac{7}{2}$ em decimal.

$= 3.5$

Etapa 2.2

Substitua o valor $x$ $- 5.25$ em $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 5.25, 1.5)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 5.25$ na expressão.

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 5.25)}}{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Multiplique $4$ por $- 5.25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 21}}{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Subtraia $21$ de $25$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{4}}{2}$

Etapa 2.2.2.1.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - \sqrt{2^{2}}}{2}$

Etapa 2.2.2.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- 5.25) = \frac{5 - 1 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.2.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- 5.25) = \frac{5 - 2}{2}$

Etapa 2.2.2.1.6

Subtraia $2$ de $5$ .

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele o fator comum de $3$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Reescreva $3$ como $1 (3)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 (3)}{2}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.2.1

Reescreva $2$ como $1 (2)$ .

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

Etapa 2.2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 5.25) = \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}$

Etapa 2.2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 5.25) = \frac{3}{2}$

Etapa 2.2.2.3

A resposta final é $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{3}{2}$

Etapa 2.2.3

Converta $\frac{3}{2}$ em decimal.

$= 1.5$

Etapa 2.3

Substitua o valor $x$ $- 4.25$ em $f (x) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 4.25, \frac{5 + \sqrt{8}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 4.25$ na expressão.

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $4$ por $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{25 - 17}}{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Subtraia $17$ de $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

Etapa 2.3.2.2

A resposta final é $\frac{5 + \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 + \sqrt{8}}{2}$

Etapa 2.4

Substitua o valor $x$ $- 4.25$ em $f (x) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 x}}{2}$ . Nesse caso, o ponto é $(- 4.25, \frac{5 - \sqrt{8}}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4.25$ na expressão.

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 + 4 (- 4.25)}}{2}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Multiplique $4$ por $- 4.25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{25 - 17}}{2}$

Etapa 2.4.2.1.2

Subtraia $17$ de $25$ .

$f (- 4.25) = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

Etapa 2.4.2.2

A resposta final é $\frac{5 - \sqrt{8}}{2}$ .

$y = \frac{5 - \sqrt{8}}{2}$

Etapa 2.5

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para a direita

Vértice: $(- \frac{25}{4}, \frac{5}{2})$

Foco: $(- 6, \frac{5}{2})$

Eixo de simetria: $y = \frac{5}{2}$

Diretriz: $x = - \frac{13}{2}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \frac{25}{4} & \frac{5}{2} \\ - 5.25 & 3.5 \\ - 5.25 & 1.5 \\ - 4.25 & 3.91 \\ - 4.25 & 1.09 \end{array}$

Etapa 4