Cálculo Exemplos

$x \sqrt{2 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre o domínio para $y = x \sqrt{2 - x^{2}}$ de modo que uma lista de valores $x$ possa ser escolhida para encontrar uma lista de pontos, o que ajudará a representar graficamente o radical.

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Etapa 1.1

Defina o radicando em $\sqrt{2 - x^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 - x^{2} \geq 0$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} \geq - 2$

Etapa 1.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 2$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 2$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Etapa 1.2.3

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Etapa 1.2.4

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.4.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Etapa 1.2.5

Escreva $| x | \leq \sqrt{2}$ em partes.

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Etapa 1.2.5.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 1.2.5.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq \sqrt{2}$

Etapa 1.2.5.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 1.2.5.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Etapa 1.2.5.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Etapa 1.2.6

Encontre a intersecção de $x \leq \sqrt{2}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Etapa 1.2.7

Resolva $- x \leq \sqrt{2}$ quando $x < 0$ .

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Etapa 1.2.7.1

Divida cada termo em $- x \leq \sqrt{2}$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 1.2.7.1.1

Divida cada termo em $- x \leq \sqrt{2}$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 1.2.7.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.7.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 1.2.7.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 1.2.7.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.7.1.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Etapa 1.2.7.1.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Etapa 1.2.7.2

Encontre a intersecção de $x \geq - \sqrt{2}$ e $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Etapa 1.2.8

Encontre a união das soluções.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Etapa 1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Notação de intervalo:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Etapa 2

Para encontrar os pontos finais, substitua os limites dos valores de $x$ do domínio em $f (x) = x \sqrt{2 - x^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{2}$ na expressão.

$f (- \sqrt{2}) = (- \sqrt{2}) \sqrt{2 - {(- \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{2})}$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

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Etapa 2.2.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{2})}$

Etapa 2.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{2 + 1} {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.2.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

Etapa 2.2.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 2.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{2 - 2}$

Etapa 2.2.5.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0}$

Etapa 2.2.5.3

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.2.5.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (- \sqrt{2}) = - \sqrt{2} \cdot 0$

Etapa 2.2.6

Multiplique $- \sqrt{2} \cdot 0$ .

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Etapa 2.2.6.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0 \sqrt{2}$

Etapa 2.2.6.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 0$

Etapa 2.2.7

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 2.3

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{2}$ na expressão.

$f (\sqrt{2}) = (\sqrt{2}) \sqrt{2 - {(\sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 2.4

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.4.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(\sqrt{2})}^{2})}$

Etapa 2.4.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 2.4.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 2.4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Etapa 2.4.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 2.4.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 2.4.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

Etapa 2.4.2.5

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 1 \cdot 2)}$

Etapa 2.4.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 (2 - 2)}$

Etapa 2.4.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{2 \cdot 0}$

Etapa 2.4.3.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0}$

Etapa 2.4.3.4

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.3.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$f (\sqrt{2}) = 0$

Etapa 2.4.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 3

Os pontos finais são $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$ .

$(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0)$

Etapa 4

A raiz quadrada pode ser representada graficamente usando os pontos ao redor do vértice $(- \sqrt{2}, 0), (\sqrt{2}, 0),$

$\begin{array}{c} x & y \\ - \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & 0 \end{array}$

Etapa 5