Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{5}{2} x^{2}$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva a equação na forma do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{2}$

Etapa 1.1.2

Complete o quadrado de $\frac{5 x^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{5}{2}$

$b = 0$

$c = 0$

Etapa 1.1.2.2

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 1.1.2.3

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (\frac{5}{2})}$

Etapa 1.1.2.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.2.1.1

Fatore $2$ de $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (\frac{5}{2})}$

Etapa 1.1.2.3.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (\frac{5}{2})}$

Etapa 1.1.2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{0}{\frac{5}{2}}$

Etapa 1.1.2.3.2.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$d = 0 (\frac{2}{5})$

Etapa 1.1.2.3.2.3

Multiplique $0$ por $\frac{2}{5}$ .

$d = 0$

Etapa 1.1.2.4

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (\frac{5}{2})}$

Etapa 1.1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (\frac{5}{2})}$

Etapa 1.1.2.4.2.1.2

Combine $4$ e $\frac{5}{2}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot 5}{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2.1.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{20}{2}}$

Etapa 1.1.2.4.2.1.4

Divida $20$ por $2$ .

$e = 0 - \frac{0}{10}$

Etapa 1.1.2.4.2.1.5

Divida $0$ por $10$ .

$e = 0 - 0$

Etapa 1.1.2.4.2.1.6

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e = 0 + 0$

Etapa 1.1.2.4.2.2

Some $0$ e $0$ .

$e = 0$

Etapa 1.1.2.5

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $\frac{5}{2} x^{2}$ .

$\frac{5}{2} x^{2}$

Etapa 1.1.3

Defina $y$ como igual ao novo lado direito.

$y = \frac{5}{2} x^{2}$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{5}{2}$

$h = 0$

$k = 0$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

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Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{5}{2}}$

Etapa 1.5.3

Simplifique.

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Etapa 1.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{5}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 5}{2}}$

Etapa 1.5.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.2.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{1}{\frac{20}{2}}$

Etapa 1.5.3.2.2

Divida $20$ por $2$ .

$\frac{1}{10}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

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Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(0, \frac{1}{10})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 0$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

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Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = - \frac{1}{10}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(0, \frac{1}{10})$

Eixo de simetria: $x = 0$

Diretriz: $y = - \frac{1}{10}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(0, \frac{1}{10})$

Eixo de simetria: $x = 0$

Diretriz: $y = - \frac{1}{10}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \frac{5 {(- 2)}^{2}}{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de ${(- 2)}^{2}$ e $2$ .

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Etapa 2.2.1.1

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$f (- 2) = \frac{5 {(- 1 \cdot 2)}^{2}}{2}$

Etapa 2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $- 1 (2)$ .

$f (- 2) = \frac{5 ({(- 1)}^{2} \cdot 2^{2})}{2}$

Etapa 2.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = \frac{5 (1 \cdot 2^{2})}{2}$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique $2^{2}$ por $1$ .

$f (- 2) = \frac{5 \cdot 2^{2}}{2}$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $2$ de $5 \cdot 2^{2}$ .

$f (- 2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2}$

Etapa 2.2.1.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- 2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2 (1)}$

Etapa 2.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (- 2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (- 2) = \frac{5 \cdot 2}{1}$

Etapa 2.2.1.6.4

Divida $5 \cdot 2$ por $1$ .

$f (- 2) = 5 \cdot 2$

Etapa 2.2.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$f (- 2) = 10$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $10$ .

$10$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = - 2$ é $10$ .

$y = 10$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = \frac{5 {(- 1)}^{2}}{2}$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = \frac{5 \cdot 1}{2}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (- 1) = \frac{5}{2}$

Etapa 2.5.3

A resposta final é $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = - 1$ é $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{5 {(2)}^{2}}{2}$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Cancele o fator comum de ${(2)}^{2}$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Fatore $2$ de $5 {(2)}^{2}$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2}$

Etapa 2.8.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2 (1)}$

Etapa 2.8.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (2) = \frac{2 (5 \cdot 2)}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.8.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (2) = \frac{5 \cdot 2}{1}$

Etapa 2.8.1.2.4

Divida $5 \cdot 2$ por $1$ .

$f (2) = 5 \cdot 2$

Etapa 2.8.2

Multiplique $5$ por $2$ .

$f (2) = 10$

Etapa 2.8.3

A resposta final é $10$ .

$10$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 2$ é $10$ .

$y = 10$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{5 {(1)}^{2}}{2}$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = \frac{5 \cdot 1}{2}$

Etapa 2.11.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (1) = \frac{5}{2}$

Etapa 2.11.3

A resposta final é $\frac{5}{2}$ .

$\frac{5}{2}$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 1$ é $\frac{5}{2}$ .

$y = \frac{5}{2}$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 10 \\ - 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{5}{2} \\ 2 & 10 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(0, 0)$

Foco: $(0, \frac{1}{10})$

Eixo de simetria: $x = 0$

Diretriz: $y = - \frac{1}{10}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 10 \\ - 1 & \frac{5}{2} \\ 0 & 0 \\ 1 & \frac{5}{2} \\ 2 & 10 \end{array}$

Etapa 4