Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x} - \ln (x)$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

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Etapa 1.1

Encontre onde a expressão $\frac{1}{x} - \ln (x)$ é indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 1.2

$\frac{1}{x} - \ln (x)$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da esquerda e $\frac{1}{x} - \ln (x)$ $\to$ $\infty$ como $x$ $\to$ $0$ a partir da direita, então, (EQUATION6 ) é uma assíntota vertical.

$x = 0$

Etapa 1.3

Ignorando o algoritmo, considere a função racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , em que $n$ é o grau do numerador e $m$ é o grau do denominador.

1. Se $n < m$ , então o eixo x, $y = 0$ , será a assíntota horizontal.

2. Se $n = m$ , então a assíntota horizontal será a linha $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , então não haverá assíntota horizontal (haverá uma assíntota oblíqua).

Etapa 1.4

Encontre $n$ e $m$ .

$n = 1$

$m = 1$

Etapa 1.5

Como $n = m$ , a assíntota horizontal é a reta $y = \frac{a}{b}$ , em que $a = - 1$ e $b = 1$ .

$y = - 1$

Etapa 1.6

Não há assíntotas oblíquas presentes para as funções logarítmicas e trigonométricas.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 1.7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = - 1$

Assíntotas verticais: $x = 0$

Assíntotas horizontais: $y = - 1$

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \frac{1}{1} - \ln (1)$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.1.1

Divida $1$ por $1$ .

$f (1) = 1 - \ln (1)$

Etapa 2.2.1.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (1) = 1 - 0$

Etapa 2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (1) = 1 + 0$

Etapa 2.2.2

Some $1$ e $0$ .

$f (1) = 1$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $1$ .

$1$

Etapa 2.3

Converta $1$ em decimal.

$y = 1$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 2$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = \frac{1}{2} - \ln (2)$

Etapa 3.2

A resposta final é $\frac{1}{2} - \ln (2)$ .

$\frac{1}{2} - \ln (2)$

Etapa 3.3

Converta $\frac{1}{2} - \ln (2)$ em decimal.

$y = - 0.19314718$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 3$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{1}{3} - \ln (3)$

Etapa 4.2

A resposta final é $\frac{1}{3} - \ln (3)$ .

$\frac{1}{3} - \ln (3)$

Etapa 4.3

Converta $\frac{1}{3} - \ln (3)$ em decimal.

$y = - 0.76527895$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = 0$ e os pontos $(1, 1), (2, - 0.19314718), (3, - 0.76527895)$ .

Assíntota vertical: $x = 0$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 1 \\ 2 & - 0.193 \\ 3 & - 0.765 \end{array}$

Etapa 6