Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 7}$ como ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 7}$

Etapa 3.1.2

Fatore $x^{2} + 7$ de $2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 7}$

Etapa 3.1.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.3.1

Multiplique por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

Etapa 3.1.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Etapa 3.1.3.4

Divida $2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} 2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 3.1.4

Mova ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.3

Reescreva ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x^{2} + 7}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

Etapa 3.4

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 3.5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 3.5.2.2

Reescreva a expressão.

$2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 3.5.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 3.5.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 3.5.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 3.5.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 3.5.7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 3.5.8

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 7 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 3.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

Etapa 3.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.1.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1 + 0}}$

Etapa 3.7.1.2

Some $1$ e $0$ .

$2 \frac{1}{\sqrt{1}}$

Etapa 3.7.1.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$2 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.7.2

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.7.2.1

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.7.2.2

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 1$

Etapa 3.7.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 4

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{2 x \sqrt{x^{2} + 7}}{x^{2} + 7}$ para encontrar a assíntota horizontal.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 7}$ como ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + 7}$

Etapa 4.1.2

Fatore $x^{2} + 7$ de $2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{x^{2} + 7}$

Etapa 4.1.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Multiplique por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x^{2} + 7) (2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}})}{(x^{2} + 7) \cdot 1}$

Etapa 4.1.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{1}$

Etapa 4.1.3.4

Divida $2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} 2 x {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 4.1.4

Mova ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{2 x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.3

Reescreva ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x^{2} + 7}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 7}}$

Etapa 4.4

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 4.5

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 4.5.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.2.1

Cancele o fator comum.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 4.5.2.2

Reescreva a expressão.

$2 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 4.5.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$2 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 4.5.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 4.5.5

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 4.5.6

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 4.5.7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 4.5.8

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{7}{x^{2}}}}$

Etapa 4.5.9

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 7 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$2 \frac{1}{- \sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

Etapa 4.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- \sqrt{1 + 7 \cdot 0}}$

Etapa 4.7.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 7 \cdot 0}})$

Etapa 4.7.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.2.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1 + 0}})$

Etapa 4.7.2.2

Some $1$ e $0$ .

$2 (- \frac{1}{\sqrt{1}})$

Etapa 4.7.2.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$2 (- \frac{1}{1})$

Etapa 4.7.3

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.3.1

Cancele o fator comum.

$2 (- \frac{1}{1})$

Etapa 4.7.3.2

Reescreva a expressão.

$2 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 4.7.4

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.7.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 \cdot - 1$

Etapa 4.7.4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2$

Etapa 5

Liste as assíntotas horizontais:

$y = 2, - 2$

Etapa 6

Use a divisão polinomial para encontrar as assíntotas oblíquas. Como essa expressão contém um radical, não é possível realizar a divisão polinomial.

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 7

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais: $y = 2, - 2$

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 8