Cálculo Exemplos

x e^{x}

$x e^{x}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão

x e^{x}

$x e^{x}$ é indefinida.

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 2

As assíntotas verticais ocorrem em áreas de descontinuidade infinita.

Nenhuma assíntota vertical

Etapa 3

Avalie

lim_{x \to - \infty} x e^{x}

$lim_{x \to - \infty} x e^{x}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Reescreva

x e^{x}

$x e^{x}$ como

\frac{x}{e^{- x}}

$\frac{x}{e^{- x}}$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}}$

Etapa 3.2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 3.2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 3.2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}

$\frac{lim_{x \to - \infty} x}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Etapa 3.2.1.2

O limite no menos infinito de um polinômio de grau ímpar cujo coeficiente de maior ordem é positivo é menos infinito.

\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}

$\frac{- \infty}{lim_{x \to - \infty} e^{- x}}$

Etapa 3.2.1.3

Como o expoente

- x

$- x$ se aproxima de

\infty

$\infty$ , a quantidade

e^{- x}

$e^{- x}$ se aproxima de

\infty

$\infty$ .

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 3.2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$

Etapa 3.2.2

Como

\frac{- \infty}{\infty}

$\frac{- \infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{x}{e^{- x}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Etapa 3.2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Etapa 3.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{- x}]}$

Etapa 3.2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que

\frac{d}{d x} [f (g (x))]

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é

f' (g (x)) g' (x)

$f' (g (x)) g' (x)$ , em que

f (x) = e^{x}

$f (x) = e^{x}$ e

g (x) = - x

$g (x) = - x$ .

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Etapa 3.2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina

u

$u$ como

- x

$- x$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.2.3.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que

\frac{d}{d u} [a^{u}]

$\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é

a^{u} \ln (a)

$a^{u} \ln (a)$ , em que

a

$a$ =

e

$e$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de

u

$u$ por

- x

$- x$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]}$

Etapa 3.2.3.4

Como

- 1

$- 1$ é constante em relação a

x

$x$ , a derivada de

- x

$- x$ em relação a

x

$x$ é

- \frac{d}{d x} [x]

$- \frac{d}{d x} [x]$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ , em que

n = 1

$n = 1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} (- 1 \cdot 1)}$

Etapa 3.2.3.6

Multiplique

- 1

$- 1$ por

1

$1$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x} \cdot - 1}$

Etapa 3.2.3.7

Mova

- 1

$- 1$ para a esquerda de

e^{- x}

$e^{- x}$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- 1 \cdot e^{- x}}$

Etapa 3.2.3.8

Reescreva

- 1 e^{- x}

$- 1 e^{- x}$ como

- e^{- x}

$- e^{- x}$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- e^{- x}}$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de

1

$1$ e

- 1

$- 1$ .

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Etapa 3.2.4.1

Reescreva

1

$1$ como

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ .

lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} \frac{- 1 (- 1)}{- e^{- x}}$

Etapa 3.2.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}

$lim_{x \to - \infty} - \frac{1}{e^{- x}}$

Etapa 3.3

Mova o termo

- 1

$- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a

x

$x$ .

- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}

$- lim_{x \to - \infty} \frac{1}{e^{- x}}$

Etapa 3.4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração

\frac{1}{e^{- x}}

$\frac{1}{e^{- x}}$ se aproxima de

0

$0$ .

- 0

$- 0$

Etapa 3.5

Multiplique

- 1

$- 1$ por

0

$0$ .

0

$0$

0

$0$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

y = 0

$y = 0$

Etapa 5

Não há assíntota oblíqua porque o grau do numerador é menor do que ou igual ao grau do denominador.

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Nenhuma assíntota vertical

Assíntotas horizontais:

y = 0

$y = 0$

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 7