Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x^{2} + 6 x - 11$ , $x = - 2$

Etapa 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

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Etapa 1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$y = 5 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 11$

Etapa 1.2

Simplifique $5 {(- 2)}^{2} + 6 (- 2) - 11$ .

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Etapa 1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y = 5 \cdot 4 + 6 (- 2) - 11$

Etapa 1.2.1.2

Multiplique $5$ por $4$ .

$y = 20 + 6 (- 2) - 11$

Etapa 1.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 2$ .

$y = 20 - 12 - 11$

Etapa 1.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 1.2.2.1

Subtraia $12$ de $20$ .

$y = 8 - 11$

Etapa 1.2.2.2

Subtraia $11$ de $8$ .

$y = - 3$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 2$ e $y = - 3$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} + 6 x - 11$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 11]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$10 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 11]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$10 x + 6 + \frac{d}{d x} [- 11]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11$ em relação a $x$ é $0$ .

$10 x + 6 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $10 x + 6$ e $0$ .

$10 x + 6$

Etapa 2.5

Avalie a derivada em $x = - 2$ .

$10 (- 2) + 6$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $10$ por $- 2$ .

$- 20 + 6$

Etapa 2.6.2

Some $- 20$ e $6$ .

$- 14$

Etapa 3

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 3.1

Use a inclinação $- 14$ e um ponto determinado $(- 2, - 3)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 3) = - 14 \cdot (x - (- 2))$

Etapa 3.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 3 = - 14 \cdot (x + 2)$

Etapa 3.3

Resolva $y$ .

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Etapa 3.3.1

Simplifique $- 14 \cdot (x + 2)$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva.

$y + 3 = 0 + 0 - 14 \cdot (x + 2)$

Etapa 3.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 3 = - 14 \cdot (x + 2)$

Etapa 3.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 3 = - 14 x - 14 \cdot 2$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $- 14$ por $2$ .

$y + 3 = - 14 x - 28$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$y = - 14 x - 28 - 3$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $3$ de $- 28$ .

$y = - 14 x - 31$

Etapa 4