Cálculo Exemplos

$3 (\cos (\frac{π}{8}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) (\frac{π}{8})$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Reescreva $\frac{π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$3 (\cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.1.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$3 (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.1.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$3 (\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 (\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.1.5

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 (\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.1.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.1.5.4

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.4.1

Multiplique $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.1.5.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 (\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.1.5.5

Reescreva $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.1.5.6

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.1.5.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{3 π}{8}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.3

O valor exato de $\cos (\frac{3 π}{8})$ é $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Reescreva $\frac{3 π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{\frac{3 π}{4}}{2}) + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.3.2

Aplique a fórmula do arco metade do cosseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.3.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque o cosseno é positivo no primeiro quadrante.

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.3.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.3.4.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.3.4.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.3.4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.3.4.5

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.3.4.6

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.6.1

Multiplique $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.3.4.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.3.4.7

Reescreva $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ como $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.3.4.8

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.3.4.8.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + \cos (\frac{π}{2})) \frac{π}{8}$

Etapa 1.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} + 0) \frac{π}{8}$

Etapa 2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) \frac{π}{8}$

Etapa 3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \frac{π}{8}$

Etapa 4

Combine $3$ e $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2} \cdot \frac{π}{8}$

Etapa 5

Multiplique $\frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2} \cdot \frac{π}{8}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}})}{2}$ por $\frac{π}{8}$ .

$\frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{2 \cdot 8}$

Etapa 5.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{3 (\sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sqrt{2} + \sqrt{2 - \sqrt{2}}) π}{16}$

Forma decimal:

$2.37229878 \dots$