Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{8} {(x - 1)}^{7}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{8}$ e $g (x) = {(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{7}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (\frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$f' (x) = x^{8} (7 u^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \frac{d}{d x} (x - 1)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Etapa 1.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6} \cdot 1) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} \frac{d}{d x} (x^{8})$

Etapa 1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 8$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + {(x - 1)}^{7} (8 x^{7})$

Etapa 1.1.3.6

Mova $8$ para a esquerda de ${(x - 1)}^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 \cdot ({(x - 1)}^{7} x^{7})$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Fatore $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ de $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6}) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

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Etapa 1.1.4.1.1

Fatore $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ de $x^{8} (7 {(x - 1)}^{6})$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + 8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$

Etapa 1.1.4.1.2

Fatore $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ de $8 {(x - 1)}^{7} x^{7}$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.1.3

Fatore $x^{7} {(x - 1)}^{6}$ de $x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7)) + x^{7} {(x - 1)}^{6} (8 (x - 1))$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (x \cdot (7) + 8 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.2

Mova $7$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1))$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{7} = 0$

${(x - 1)}^{6} = 0$

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Defina $x^{7}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x^{7}$ como igual a $0$ .

$x^{7} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $x^{7} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[7]{0}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique $\sqrt[7]{0}$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{7}$ .

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

Etapa 2.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 2.4

Defina ${(x - 1)}^{6}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina ${(x - 1)}^{6}$ como igual a $0$ .

${(x - 1)}^{6} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva ${(x - 1)}^{6} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina $7 x + 8 (x - 1)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $7 x + 8 (x - 1)$ como igual a $0$ .

$7 x + 8 (x - 1) = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $7 x + 8 (x - 1) = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Simplifique $7 x + 8 (x - 1)$ .

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Etapa 2.5.2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 x + 8 x + 8 \cdot - 1 = 0$

Etapa 2.5.2.1.1.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$7 x + 8 x - 8 = 0$

Etapa 2.5.2.1.2

Some $7 x$ e $8 x$ .

$15 x - 8 = 0$

Etapa 2.5.2.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$15 x = 8$

Etapa 2.5.2.3

Divida cada termo em $15 x = 8$ por $15$ e simplifique.

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Etapa 2.5.2.3.1

Divida cada termo em $15 x = 8$ por $15$ .

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Etapa 2.5.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.5.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $15$ .

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Etapa 2.5.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{15 x}{15} = \frac{8}{15}$

Etapa 2.5.2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{15}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $x^{7} {(x - 1)}^{6} (7 x + 8 (x - 1)) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1, \frac{8}{15}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{8} {(x - 1)}^{7}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{8} {((0) - 1)}^{7}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 {((0) - 1)}^{7}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$0 {(- 1)}^{7}$

Etapa 4.1.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $7$ .

$0 \cdot - 1$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

${(1)}^{8} {((1) - 1)}^{7}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 {((1) - 1)}^{7}$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique ${((1) - 1)}^{7}$ por $1$ .

${((1) - 1)}^{7}$

Etapa 4.2.2.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$0^{7}$

Etapa 4.2.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Avalie em $x = \frac{8}{15}$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $\frac{8}{15}$ por $x$ .

${(\frac{8}{15})}^{8} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{15}$ .

$\frac{8^{8}}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Etapa 4.3.2.2

Eleve $8$ à potência de $8$ .

$\frac{16777216}{15^{8}} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Etapa 4.3.2.3

Eleve $15$ à potência de $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {((\frac{8}{15}) - 1)}^{7}$

Etapa 4.3.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}^{7}$

Etapa 4.3.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{15}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Etapa 4.3.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 1 \cdot 15}{15})}^{7}$

Etapa 4.3.2.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $15$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{8 - 15}{15})}^{7}$

Etapa 4.3.2.7.2

Subtraia $15$ de $8$ .

$\frac{16777216}{2562890625} {(\frac{- 7}{15})}^{7}$

Etapa 4.3.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{16777216}{2562890625} {(- \frac{7}{15})}^{7}$

Etapa 4.3.2.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.3.2.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} {(\frac{7}{15})}^{7})$

Etapa 4.3.2.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{7}{15}$ .

$\frac{16777216}{2562890625} ({(- 1)}^{7} \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Etapa 4.3.2.10

Eleve $- 1$ à potência de $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{7^{7}}{15^{7}})$

Etapa 4.3.2.11

Eleve $7$ à potência de $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{15^{7}})$

Etapa 4.3.2.12

Eleve $15$ à potência de $7$ .

$\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$

Etapa 4.3.2.13

Multiplique $\frac{16777216}{2562890625} (- \frac{823543}{170859375})$ .

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Etapa 4.3.2.13.1

Multiplique $\frac{16777216}{2562890625}$ por $\frac{823543}{170859375}$ .

$- \frac{16777216 \cdot 823543}{2562890625 \cdot 170859375}$

Etapa 4.3.2.13.2

Multiplique $16777216$ por $823543$ .

$- \frac{13816758796288}{2562890625 \cdot 170859375}$

Etapa 4.3.2.13.3

Multiplique $2562890625$ por $170859375$ .

$- \frac{13816758796288}{437893890380859375}$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{8}{15}, - \frac{13816758796288}{437893890380859375})$

Etapa 5