Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} {(x - 1)}^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = {(x - 1)}^{3}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{3}] + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$x^{4} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 1]) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2} \cdot 1) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + {(x - 1)}^{3} (4 x^{3})$

Etapa 1.1.3.6

Mova $4$ para a esquerda de ${(x - 1)}^{3}$ .

$x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 \cdot {(x - 1)}^{3} x^{3}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Fatore $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ de $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2}) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1.1

Fatore $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ de $x^{4} (3 {(x - 1)}^{2})$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + 4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$

Etapa 1.1.4.1.2

Fatore $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ de $4 {(x - 1)}^{3} x^{3}$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.1.3

Fatore $x^{3} {(x - 1)}^{2}$ de $x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3)) + x^{3} {(x - 1)}^{2} (4 (x - 1))$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (x \cdot (3) + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.3

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.4

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (x (x - 1) - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.5.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{3} (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.5.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$x^{3} (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.5.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{3} (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.5.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{3} (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.5.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x^{3} (x^{2} - x - x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.5.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$x^{3} (x^{2} - 2 x + 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.6

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{3} x^{2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.7.1

Multiplique $x^{3}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.7.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x^{3 + 2} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.7.1.2

Some $3$ e $2$ .

$(x^{5} + x^{3} (- 2 x) + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.7.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3} \cdot 1) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.7.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$(x^{5} - 2 x^{3} x + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.8

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.8.1

Mova $x$ .

$(x^{5} - 2 (x \cdot x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.8.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x^{5} - 2 (x^{1} x^{3}) + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x^{5} - 2 x^{1 + 3} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.8.3

Some $1$ e $3$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 (x - 1))$

Etapa 1.1.4.9

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.9.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x + 4 \cdot - 1)$

Etapa 1.1.4.9.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (3 x + 4 x - 4)$

Etapa 1.1.4.10

Some $3 x$ e $4 x$ .

$(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$

Etapa 1.1.4.11

Expanda $(x^{5} - 2 x^{4} + x^{3}) (7 x - 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$x^{5} (7 x) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.12.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$7 x^{5} x + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.2

Multiplique $x^{5}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.12.2.1

Mova $x$ .

$7 (x \cdot x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.2.2

Multiplique $x$ por $x^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.12.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$7 (x^{1} x^{5}) + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$7 x^{1 + 5} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.2.3

Some $1$ e $5$ .

$7 x^{6} + x^{5} \cdot - 4 - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.3

Mova $- 4$ para a esquerda de $x^{5}$ .

$7 x^{6} - 4 \cdot x^{5} - 2 x^{4} (7 x) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{4} x - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.5

Multiplique $x^{4}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.12.5.1

Mova $x$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x \cdot x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.5.2

Multiplique $x$ por $x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.12.5.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 (x^{1} x^{4}) - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{1 + 4} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.5.3

Some $1$ e $4$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 2 \cdot 7 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.6

Multiplique $- 2$ por $7$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} - 2 x^{4} \cdot - 4 + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.7

Multiplique $- 4$ por $- 2$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + x^{3} (7 x) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.8

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{3} x + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.9

Multiplique $x^{3}$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.12.9.1

Mova $x$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x \cdot x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.9.2

Multiplique $x$ por $x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.12.9.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 (x^{1} x^{3}) + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{1 + 3} + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.9.3

Some $1$ e $3$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} + x^{3} \cdot - 4$

Etapa 1.1.4.12.10

Mova $- 4$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$7 x^{6} - 4 x^{5} - 14 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

Etapa 1.1.4.13

Subtraia $14 x^{5}$ de $- 4 x^{5}$ .

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 8 x^{4} + 7 x^{4} - 4 x^{3}$

Etapa 1.1.4.14

Some $8 x^{4}$ e $7 x^{4}$ .

$f' (x) = 7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ .

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $x^{3}$ de $7 x^{6} - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore $x^{3}$ de $7 x^{6}$ .

$x^{3} (7 x^{3}) - 18 x^{5} + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $x^{3}$ de $- 18 x^{5}$ .

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + 15 x^{4} - 4 x^{3} = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $x^{3}$ de $15 x^{4}$ .

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) - 4 x^{3} = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} (7 x^{3}) + x^{3} (- 18 x^{2})$ .

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2}) + x^{3} (15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

Etapa 2.2.1.6

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2}) + x^{3} (15 x)$ .

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x) + x^{3} \cdot - 4 = 0$

Etapa 2.2.1.7

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x) + x^{3} \cdot - 4$ .

$x^{3} (7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 7$

Etapa 2.2.2.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 4, \pm 0.\overline{571428}, \pm 2, \pm 0.\overline{285714}$

Etapa 2.2.2.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$7 \cdot 1^{3} - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

Etapa 2.2.2.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$7 \cdot 1 - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

Etapa 2.2.2.3.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 - 18 \cdot 1^{2} + 15 \cdot 1 - 4$

Etapa 2.2.2.3.4

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$7 - 18 \cdot 1 + 15 \cdot 1 - 4$

Etapa 2.2.2.3.5

Multiplique $- 18$ por $1$ .

$7 - 18 + 15 \cdot 1 - 4$

Etapa 2.2.2.3.6

Subtraia $18$ de $7$ .

$- 11 + 15 \cdot 1 - 4$

Etapa 2.2.2.3.7

Multiplique $15$ por $1$ .

$- 11 + 15 - 4$

Etapa 2.2.2.3.8

Some $- 11$ e $15$ .

$4 - 4$

Etapa 2.2.2.3.9

Subtraia $4$ de $4$ .

$0$

Etapa 2.2.2.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4}{x - 1}$

Etapa 2.2.2.5

Divida $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ por $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$7 x^{3}$

$18 x^{2}$

$15 x$

$4$

Etapa 2.2.2.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $7 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$7 x^{2}$
	$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$

Etapa 2.2.2.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			+	$7 x^{3}$	-	$7 x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $7 x^{3} - 7 x^{2}$ .

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$

Etapa 2.2.2.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$7 x^{2}$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$

Etapa 2.2.2.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 11 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$

Etapa 2.2.2.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					-	$11 x^{2}$	+	$11 x$

Etapa 2.2.2.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 11 x^{2} + 11 x$ .

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$

Etapa 2.2.2.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$

Etapa 2.2.2.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Etapa 2.2.2.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $4 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$

Etapa 2.2.2.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							+	$4 x$	-	$4$

Etapa 2.2.2.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $4 x - 4$ .

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$

Etapa 2.2.2.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$7 x^{2}$	-	$11 x$	+	$4$
$x$	-	$1$		$7 x^{3}$	-	$18 x^{2}$	+	$15 x$	-	$4$
			-	$7 x^{3}$	+	$7 x^{2}$
					-	$11 x^{2}$	+	$15 x$
					+	$11 x^{2}$	-	$11 x$
							+	$4 x$	-	$4$
							-	$4 x$	+	$4$
										$0$

Etapa 2.2.2.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$7 x^{2} - 11 x + 4$

Etapa 2.2.2.6

Escreva $7 x^{3} - 18 x^{2} + 15 x - 4$ como um conjunto de fatores.

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 11 x + 4)) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 7 \cdot 4 = 28$ e cuja soma é $b = - 11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1.1.1

Fatore $- 11$ de $- 11 x$ .

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 11 x + 4)) = 0$

Etapa 2.2.3.1.1.1.2

Reescreva $- 11$ como $- 4$ mais $- 7$

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} + (- 4 - 7) x + 4)) = 0$

Etapa 2.2.3.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{3} ((x - 1) (7 x^{2} - 4 x - 7 x + 4)) = 0$

Etapa 2.2.3.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$x^{3} ((x - 1) ((7 x^{2} - 4 x) - 7 x + 4)) = 0$

Etapa 2.2.3.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x^{3} ((x - 1) (x (7 x - 4) - (7 x - 4))) = 0$

Etapa 2.2.3.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $7 x - 4$ .

$x^{3} ((x - 1) ((7 x - 4) (x - 1))) = 0$

Etapa 2.2.3.1.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{3} ((x - 1) (7 x - 4) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x^{3} (x - 1) (7 x - 4) (x - 1) = 0$

Etapa 2.2.4

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (7 x - 4) = 0$

Etapa 2.2.4.2

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$x^{3} ((x - 1) (x - 1)) (7 x - 4) = 0$

Etapa 2.2.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{3} {(x - 1)}^{1 + 1} (7 x - 4) = 0$

Etapa 2.2.4.4

Some $1$ e $1$ .

$x^{3} {(x - 1)}^{2} (7 x - 4) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

$7 x - 4 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Defina $x^{3}$ como igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{3} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva ${(x - 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.5.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.6

Defina $7 x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Defina $7 x - 4$ como igual a $0$ .

$7 x - 4 = 0$

Etapa 2.6.2

Resolva $7 x - 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$7 x = 4$

Etapa 2.6.2.2

Divida cada termo em $7 x = 4$ por $7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.1

Divida cada termo em $7 x = 4$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Etapa 2.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 x}{7} = \frac{4}{7}$

Etapa 2.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{7}$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x^{3} {(x - 1)}^{2} (7 x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1, \frac{4}{7}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{4} {(x - 1)}^{3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{4} {((0) - 1)}^{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 {((0) - 1)}^{3}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$0 {(- 1)}^{3}$

Etapa 4.1.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$0 \cdot - 1$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

${(1)}^{4} {((1) - 1)}^{3}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 {((1) - 1)}^{3}$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique ${((1) - 1)}^{3}$ por $1$ .

${((1) - 1)}^{3}$

Etapa 4.2.2.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$0^{3}$

Etapa 4.2.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Avalie em $x = \frac{4}{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $\frac{4}{7}$ por $x$ .

${(\frac{4}{7})}^{4} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{7}$ .

$\frac{4^{4}}{7^{4}} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Etapa 4.3.2.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$\frac{256}{7^{4}} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Etapa 4.3.2.3

Eleve $7$ à potência de $4$ .

$\frac{256}{2401} {((\frac{4}{7}) - 1)}^{3}$

Etapa 4.3.2.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{4}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7})}^{3}$

Etapa 4.3.2.5

Combine $- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{4}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7})}^{3}$

Etapa 4.3.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{256}{2401} {(\frac{4 - 1 \cdot 7}{7})}^{3}$

Etapa 4.3.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.7.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{4 - 7}{7})}^{3}$

Etapa 4.3.2.7.2

Subtraia $7$ de $4$ .

$\frac{256}{2401} {(\frac{- 3}{7})}^{3}$

Etapa 4.3.2.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{256}{2401} {(- \frac{3}{7})}^{3}$

Etapa 4.3.2.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3}{7}$ .

$\frac{256}{2401} ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{7})}^{3})$

Etapa 4.3.2.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3}{7}$ .

$\frac{256}{2401} ({(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{7^{3}})$

Etapa 4.3.2.10

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$\frac{256}{2401} (- \frac{3^{3}}{7^{3}})$

Etapa 4.3.2.11

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{7^{3}})$

Etapa 4.3.2.12

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$\frac{256}{2401} (- \frac{27}{343})$

Etapa 4.3.2.13

Multiplique $\frac{256}{2401} (- \frac{27}{343})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.13.1

Multiplique $\frac{256}{2401}$ por $\frac{27}{343}$ .

$- \frac{256 \cdot 27}{2401 \cdot 343}$

Etapa 4.3.2.13.2

Multiplique $256$ por $27$ .

$- \frac{6912}{2401 \cdot 343}$

Etapa 4.3.2.13.3

Multiplique $2401$ por $343$ .

$- \frac{6912}{823543}$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (1, 0), (\frac{4}{7}, - \frac{6912}{823543})$

Etapa 5