Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} + \frac{108}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{d}{d x} (\frac{108}{x})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{108}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $108$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{108}{x}$ em relação a $x$ é $108 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 1.1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 4 x + 108 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = 4 x + 108 (- x^{- 2})$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $- 1$ por $108$ .

$f' (x) = 4 x - 108 x^{- 2}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 4 x - 108 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.1.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.2.1

Combine $- 108$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 4 x + \frac{- 108}{x^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 4 x - \frac{108}{x^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x - \frac{108}{x^{2}}$ .

$4 x - \frac{108}{x^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, x^{2}, 1$

Etapa 2.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{2}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $4 x - \frac{108}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$4 x \cdot x^{2} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.1

Mova $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 (x^{2} x^{1}) - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{2 + 1} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.1.3

Some $2$ e $1$ .

$4 x^{3} - \frac{108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{108}{x^{2}}$ para o numerador.

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$4 x^{3} + \frac{- 108}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$4 x^{3} - 108 = 0 x^{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0$ por $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 108 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Some $108$ aos dois lados da equação.

$4 x^{3} = 108$

Etapa 2.4.2

Subtraia $108$ dos dois lados da equação.

$4 x^{3} - 108 = 0$

Etapa 2.4.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1

Fatore $4$ de $4 x^{3} - 108$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.1.1

Fatore $4$ de $4 x^{3}$ .

$4 (x^{3}) - 108 = 0$

Etapa 2.4.3.1.2

Fatore $4$ de $- 108$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 27 = 0$

Etapa 2.4.3.1.3

Fatore $4$ de $4 x^{3} + 4 \cdot - 27$ .

$4 (x^{3} - 27) = 0$

Etapa 2.4.3.2

Reescreva $27$ como $3^{3}$ .

$4 (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Etapa 2.4.3.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = 3$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Etapa 2.4.3.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.4.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.3.4.1.1

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Etapa 2.4.3.4.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$4 ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Etapa 2.4.3.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Etapa 2.4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Etapa 2.4.5

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.5.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4.5.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.4.6

Defina $x^{2} + 3 x + 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.1

Defina $x^{2} + 3 x + 9$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Etapa 2.4.6.2

Resolva $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.4.6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 9$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.3

Subtraia $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.4

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.7

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.3.1.7.1

Fatore $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.3.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.4.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.3

Subtraia $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.4

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.7

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.4.1.7.1

Fatore $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.4.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.6.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.6.2.4.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.6.2.4.5

Fatore $- 1$ de $3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 3 i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.4.6.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (- 3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 3 i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.4.6.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.5.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.3

Subtraia $36$ de $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.4

Reescreva $- 27$ como $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (27)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.7

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.2.5.1.7.1

Fatore $9$ de $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.7.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.5.1.9

Mova $3$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.4.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.6.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.6.2.5.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.6.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- 3 i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (3 i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.4.6.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (3 i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 3 i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 2.4.6.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.4.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{108}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $2 x^{2} + \frac{108}{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $3$ por $x$ .

$2 {(3)}^{2} + \frac{108}{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$2 \cdot 9 + \frac{108}{3}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $9$ .

$18 + \frac{108}{3}$

Etapa 4.1.2.1.3

Divida $108$ por $3$ .

$18 + 36$

Etapa 4.1.2.2

Some $18$ e $36$ .

$54$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$2 {(0)}^{2} + \frac{108}{0}$

Etapa 4.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(3, 54)$

Etapa 5