Cálculo Exemplos

$f (x) = 20 x^{3} - 3 x^{5}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 x^{3} - 3 x^{5}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{5}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$60 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$60 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $5$ por $- 3$ .

$60 x^{2} - 15 x^{4}$

Etapa 1.1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 15 x^{4} + 60 x^{2}$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 15 x^{4} + 60 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 60 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.2

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$- 15 u^{2} + 60 u = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $15 u$ de $- 15 u^{2} + 60 u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Fatore $15 u$ de $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 60 u = 0$

Etapa 2.2.3.2

Fatore $15 u$ de $60 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (4) = 0$

Etapa 2.2.3.3

Fatore $15 u$ de $15 u (- u) + 15 u (4)$ .

$15 u (- u + 4) = 0$

Etapa 2.2.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 4 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $- x^{2} + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $- x^{2} + 4$ como igual a $0$ .

$- x^{2} + 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $- x^{2} + 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 4$

Etapa 2.5.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 1}$

Etapa 2.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.3.1

Divida $- 4$ por $- 1$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 2.5.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 2.5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.4.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.5.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 2.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 2.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 2.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $15 x^{2} (- x^{2} + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2, - 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $20 x^{3} - 3 x^{5}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$20 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{5}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$20 \cdot 0 - 3 {(0)}^{5}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $20$ por $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{5}$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 3 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

$20 {(2)}^{3} - 3 {(2)}^{5}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$20 \cdot 8 - 3 {(2)}^{5}$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $20$ por $8$ .

$160 - 3 {(2)}^{5}$

Etapa 4.2.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$160 - 3 \cdot 32$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $32$ .

$160 - 96$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $96$ de $160$ .

$64$

Etapa 4.3

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$20 {(- 2)}^{3} - 3 {(- 2)}^{5}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$20 \cdot - 8 - 3 {(- 2)}^{5}$

Etapa 4.3.2.1.2

Multiplique $20$ por $- 8$ .

$- 160 - 3 {(- 2)}^{5}$

Etapa 4.3.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $5$ .

$- 160 - 3 \cdot - 32$

Etapa 4.3.2.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 32$ .

$- 160 + 96$

Etapa 4.3.2.2

Some $- 160$ e $96$ .

$- 64$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (2, 64), (- 2, - 64)$

Etapa 5