Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + \frac{d}{d x} (1)$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.5.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6 + 0$

Etapa 1.1.5.2

Some $12 x^{2} + 6 x - 6$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 6 x - 6$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{2} + 6 x - 6 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $6$ de $12 x^{2} + 6 x - 6$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $6$ de $12 x^{2}$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 x - 6 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $6$ de $6 x$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) - 6 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $6$ de $- 6$ .

$6 (2 x^{2}) + 6 (x) + 6 (- 1) = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $6$ de $6 (2 x^{2}) + 6 (x)$ .

$6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (2 x^{2} + x) + 6 (- 1)$ .

$6 (2 x^{2} + x - 1) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 2.2.2.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$6 (2 x^{2} + 1 x - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.2

Reescreva $1$ como $- 1$ mais $2$

$6 (2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$6 ((2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$6 (x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$6 ((2 x - 1) (x + 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $2 x - 1$ como igual a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $2 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 x = 1$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 2.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (2 x - 1) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6 x + 1$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$4 {(\frac{1}{2})}^{3} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{3}}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \frac{1}{2^{3}} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 (\frac{1}{8}) + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.1.2.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$4 \frac{1}{4 (2)} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{1}{4 \cdot 2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} + 3 {(\frac{1}{2})}^{2} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{2} + 3 \frac{1}{2^{2}} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} + 3 (\frac{1}{4}) - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.8

Combine $3$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 6 (\frac{1}{2}) + 1$

Etapa 4.1.2.1.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.1.2.1.9.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 (- 3) \frac{1}{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.9.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + 2 \cdot - 3 \frac{1}{2} + 1$

Etapa 4.1.2.1.9.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Etapa 4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} - 3 + 1$

Etapa 4.1.2.2.3

Escreva $- 3$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} + 1$

Etapa 4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1$

Etapa 4.1.2.2.5

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + 1$

Etapa 4.1.2.2.6

Escreva $1$ como uma fração com denominador $1$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1}$

Etapa 4.1.2.2.7

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 4.1.2.2.8

Multiplique $\frac{1}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2}{2 \cdot 2} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 4.1.2.2.9

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{2}{4} + \frac{3}{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4}$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 + 3 - 3 \cdot 4 + 4}{4}$

Etapa 4.1.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.4.1

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{2 + 3 - 12 + 4}{4}$

Etapa 4.1.2.4.2

Some $2$ e $3$ .

$\frac{5 - 12 + 4}{4}$

Etapa 4.1.2.4.3

Subtraia $12$ de $5$ .

$\frac{- 7 + 4}{4}$

Etapa 4.1.2.4.4

Some $- 7$ e $4$ .

$\frac{- 3}{4}$

Etapa 4.1.2.4.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{4}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$4 {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$4 \cdot - 1 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Etapa 4.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$- 4 + 3 {(- 1)}^{2} - 6 \cdot - 1 + 1$

Etapa 4.2.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 4 + 3 \cdot 1 - 6 \cdot - 1 + 1$

Etapa 4.2.2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 4 + 3 - 6 \cdot - 1 + 1$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $- 6$ por $- 1$ .

$- 4 + 3 + 6 + 1$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Some $- 4$ e $3$ .

$- 1 + 6 + 1$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $- 1$ e $6$ .

$5 + 1$

Etapa 4.2.2.2.3

Some $5$ e $1$ .

$6$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(\frac{1}{2}, - \frac{3}{4}), (- 1, 6)$

Etapa 5