Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{4}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 30 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 30 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Como $- 30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 30 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 30 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 30 (2 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 30$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x + \frac{d}{d x} (27)$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.4.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x + 0$

Etapa 1.1.4.2

Some $12 x^{3} - 60 x$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 60 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12 x^{3} - 60 x$ .

$12 x^{3} - 60 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $12 x^{3} - 60 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$12 x^{3} - 60 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $12 x$ de $12 x^{3} - 60 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Fatore $12 x$ de $12 x^{3}$ .

$12 x (x^{2}) - 60 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $12 x$ de $- 60 x$ .

$12 x (x^{2}) + 12 x (- 5) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $12 x$ de $12 x (x^{2}) + 12 x (- 5)$ .

$12 x (x^{2} - 5) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 5 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 5$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 5 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 5$

Etapa 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{5}$

Etapa 2.5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{5}$

Etapa 2.5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{5}$

Etapa 2.5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $12 x (x^{2} - 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{5}, - \sqrt{5}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $3 x^{4} - 30 x^{2} + 27$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$3 {(0)}^{4} - 30 {(0)}^{2} + 27$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$3 \cdot 0 - 30 {(0)}^{2} + 27$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$0 - 30 {(0)}^{2} + 27$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 30 \cdot 0 + 27$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 30$ por $0$ .

$0 + 0 + 27$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 27$

Etapa 4.1.2.2.2

Some $0$ e $27$ .

$27$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \sqrt{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $\sqrt{5}$ por $x$ .

$3 {(\sqrt{5})}^{4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{5}}^{4}$ como $5^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{4}{2}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.2.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.2.2.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.2.2.1.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.2.2.1.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$3 \cdot 5^{\frac{2}{1}} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.2.2.1.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$3 \cdot 5^{2} - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$3 \cdot 25 - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $3$ por $25$ .

$75 - 30 {(\sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.2.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$75 - 30 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 27$

Etapa 4.2.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 27$

Etapa 4.2.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Etapa 4.2.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Etapa 4.2.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$75 - 30 \cdot 5^{1} + 27$

Etapa 4.2.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$75 - 30 \cdot 5 + 27$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $- 30$ por $5$ .

$75 - 150 + 27$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Subtraia $150$ de $75$ .

$- 75 + 27$

Etapa 4.2.2.2.2

Some $- 75$ e $27$ .

$- 48$

Etapa 4.3

Avalie em $x = - \sqrt{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $- \sqrt{5}$ por $x$ .

$3 {(- \sqrt{5})}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{5}$ .

$3 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{5}}^{4}) - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$3 (1 {\sqrt{5}}^{4}) - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique ${\sqrt{5}}^{4}$ por $1$ .

$3 {\sqrt{5}}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{5}}^{4}$ como $5^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$3 {(5^{\frac{1}{2}})}^{4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{4}{2}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 5^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$3 \cdot 5^{\frac{2}{1}} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.4.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$3 \cdot 5^{2} - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.5

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$3 \cdot 25 - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.6

Multiplique $3$ por $25$ .

$75 - 30 {(- \sqrt{5})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.7

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{5}$ .

$75 - 30 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{5}}^{2}) + 27$

Etapa 4.3.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$75 - 30 (1 {\sqrt{5}}^{2}) + 27$

Etapa 4.3.2.1.9

Multiplique ${\sqrt{5}}^{2}$ por $1$ .

$75 - 30 {\sqrt{5}}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.10

Reescreva ${\sqrt{5}}^{2}$ como $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5}$ como $5^{\frac{1}{2}}$ .

$75 - 30 {(5^{\frac{1}{2}})}^{2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 27$

Etapa 4.3.2.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Etapa 4.3.2.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$75 - 30 \cdot 5^{\frac{2}{2}} + 27$

Etapa 4.3.2.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$75 - 30 \cdot 5^{1} + 27$

Etapa 4.3.2.1.10.5

Avalie o expoente.

$75 - 30 \cdot 5 + 27$

Etapa 4.3.2.1.11

Multiplique $- 30$ por $5$ .

$75 - 150 + 27$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Subtraia $150$ de $75$ .

$- 75 + 27$

Etapa 4.3.2.2.2

Some $- 75$ e $27$ .

$- 48$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 27), (\sqrt{5}, - 48), (- \sqrt{5}, - 48)$

Etapa 5