Cálculo Exemplos

$f (x) = x {(4 - x)}^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(4 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x)}^{3}) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (4 - x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x))) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- x))) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.3

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} (- x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x (3 {(4 - x)}^{2} (- \frac{d}{d x} x)) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2} \frac{d}{d x} x) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2} \cdot 1) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.7

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3} \cdot 1$

Etapa 1.1.3.9

Multiplique ${(4 - x)}^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Fatore ${(4 - x)}^{2}$ de $x (- 3 {(4 - x)}^{2}) + {(4 - x)}^{3}$ .

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Etapa 1.1.4.1.1

Fatore ${(4 - x)}^{2}$ de $x (- 3 {(4 - x)}^{2})$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{3}$

Etapa 1.1.4.1.2

Fatore ${(4 - x)}^{2}$ de ${(4 - x)}^{3}$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{2} (4 - x)$

Etapa 1.1.4.1.3

Fatore ${(4 - x)}^{2}$ de ${(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3)) + {(4 - x)}^{2} (4 - x)$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (x \cdot (- 3) + 4 - x)$

Etapa 1.1.4.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.4.2.1

Mova $- 3$ para a esquerda de $x$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (- 3 \cdot x + 4 - x)$

Etapa 1.1.4.2.2

Subtraia $x$ de $- 3 x$ .

$f' (x) = {(4 - x)}^{2} (- 4 x + 4)$

Etapa 1.1.4.3

Reescreva ${(4 - x)}^{2}$ como $(4 - x) (4 - x)$ .

$f' (x) = (4 - x) (4 - x) (- 4 x + 4)$

Etapa 1.1.4.4

Expanda $(4 - x) (4 - x)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (4 (4 - x) - x (4 - x)) (- 4 x + 4)$

Etapa 1.1.4.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x)) (- 4 x + 4)$

Etapa 1.1.4.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Etapa 1.1.4.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.4.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.4.5.1.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$f' (x) = (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Etapa 1.1.4.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Etapa 1.1.4.5.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - x (- x)) (- 4 x + 4)$

Etapa 1.1.4.5.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 x \cdot x)) (- 4 x + 4)$

Etapa 1.1.4.5.1.5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.5.1.5.1

Mova $x$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 (x \cdot x))) (- 4 x + 4)$

Etapa 1.1.4.5.1.5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot (- 1 x^{2})) (- 4 x + 4)$

Etapa 1.1.4.5.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2}) (- 4 x + 4)$

Etapa 1.1.4.5.1.7

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f' (x) = (16 - 4 x - 4 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$

Etapa 1.1.4.5.2

Subtraia $4 x$ de $- 4 x$ .

$f' (x) = (16 - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$

Etapa 1.1.4.6

Expanda $(16 - 8 x + x^{2}) (- 4 x + 4)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$f' (x) = 16 (- 4 x) + 16 \cdot 4 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.1.4.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.4.7.1

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$f' (x) = - 64 x + 16 \cdot 4 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.1.4.7.2

Multiplique $16$ por $4$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 x (- 4 x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.1.4.7.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 x \cdot x) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.1.4.7.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.7.4.1

Mova $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 (x \cdot x)) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.1.4.7.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 - 8 \cdot (- 4 x^{2}) - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.1.4.7.5

Multiplique $- 8$ por $- 4$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 8 x \cdot 4 + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.1.4.7.6

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x + x^{2} (- 4 x) + x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.1.4.7.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{2} x + x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.1.4.7.8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.7.8.1

Mova $x$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.1.4.7.8.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.4.7.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.1.4.7.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.1.4.7.8.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{3} + x^{2} \cdot 4$

Etapa 1.1.4.7.9

Mova $4$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$f' (x) = - 64 x + 64 + 32 x^{2} - 32 x - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Etapa 1.1.4.8

Subtraia $32 x$ de $- 64 x$ .

$f' (x) = - 96 x + 64 + 32 x^{2} - 4 x^{3} + 4 x^{2}$

Etapa 1.1.4.9

Some $32 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$f' (x) = - 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ .

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $4$ de $- 96 x + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $4$ de $- 96 x$ .

$4 (- 24 x) + 64 - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $4$ de $64$ .

$4 (- 24 x) + 4 (16) - 4 x^{3} + 36 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $4$ de $- 4 x^{3}$ .

$4 (- 24 x) + 4 (16) + 4 (- x^{3}) + 36 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $4$ de $36 x^{2}$ .

$4 (- 24 x) + 4 (16) + 4 (- x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $4$ de $4 (- 24 x) + 4 (16)$ .

$4 (- 24 x + 16) + 4 (- x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Etapa 2.2.1.6

Fatore $4$ de $4 (- 24 x + 16) + 4 (- x^{3})$ .

$4 (- 24 x + 16 - x^{3}) + 4 (9 x^{2}) = 0$

Etapa 2.2.1.7

Fatore $4$ de $4 (- 24 x + 16 - x^{3}) + 4 (9 x^{2})$ .

$4 (- 24 x + 16 - x^{3} + 9 x^{2}) = 0$

Etapa 2.2.2

Reordene os termos.

$4 (- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore.

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Etapa 2.2.3.1

Fatore $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 2.2.3.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1$

Etapa 2.2.3.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

Etapa 2.2.3.1.3

Substitua $1$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $1$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 2.2.3.1.3.1

Substitua $1$ no polinômio.

$- 1^{3} + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Etapa 2.2.3.1.3.2

Eleve $1$ à potência de $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Etapa 2.2.3.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 9 \cdot 1^{2} - 24 \cdot 1 + 16$

Etapa 2.2.3.1.3.4

Eleve $1$ à potência de $2$ .

$- 1 + 9 \cdot 1 - 24 \cdot 1 + 16$

Etapa 2.2.3.1.3.5

Multiplique $9$ por $1$ .

$- 1 + 9 - 24 \cdot 1 + 16$

Etapa 2.2.3.1.3.6

Some $- 1$ e $9$ .

$8 - 24 \cdot 1 + 16$

Etapa 2.2.3.1.3.7

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$8 - 24 + 16$

Etapa 2.2.3.1.3.8

Subtraia $24$ de $8$ .

$- 16 + 16$

Etapa 2.2.3.1.3.9

Some $- 16$ e $16$ .

$0$

Etapa 2.2.3.1.4

Como $1$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 1$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16}{x - 1}$

Etapa 2.2.3.1.5

Divida $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ por $x - 1$ .

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Etapa 2.2.3.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$16$

Etapa 2.2.3.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$

Etapa 2.2.3.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Etapa 2.2.3.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- x^{3} + x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Etapa 2.2.3.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$

Etapa 2.2.3.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Etapa 2.2.3.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $8 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$

Etapa 2.2.3.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					+	$8 x^{2}$	-	$8 x$

Etapa 2.2.3.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $8 x^{2} - 8 x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$

Etapa 2.2.3.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$

Etapa 2.2.3.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$

Etapa 2.2.3.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 16 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$

Etapa 2.2.3.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							-	$16 x$	+	$16$

Etapa 2.2.3.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 16 x + 16$ .

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$

Etapa 2.2.3.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

			-	$x^{2}$	+	$8 x$	-	$16$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$9 x^{2}$	-	$24 x$	+	$16$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$8 x^{2}$	-	$24 x$
					-	$8 x^{2}$	+	$8 x$
							-	$16 x$	+	$16$
							+	$16 x$	-	$16$
										$0$

Etapa 2.2.3.1.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$- x^{2} + 8 x - 16$

Etapa 2.2.3.1.6

Escreva $- x^{3} + 9 x^{2} - 24 x + 16$ como um conjunto de fatores.

$4 ((x - 1) (- x^{2} + 8 x - 16)) = 0$

Etapa 2.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 1) (- x^{2} + 8 x - 16) = 0$

Etapa 2.2.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 1 \cdot - 16 = 16$ e cuja soma é $b = 8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1.1.1

Fatore $8$ de $8 x$ .

$4 (x - 1) (- x^{2} + 8 (x) - 16) = 0$

Etapa 2.2.4.1.1.2

Reescreva $8$ como $4$ mais $4$

$4 (x - 1) (- x^{2} + (4 + 4) x - 16) = 0$

Etapa 2.2.4.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x - 1) (- x^{2} + 4 x + 4 x - 16) = 0$

Etapa 2.2.4.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.4.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$4 (x - 1) ((- x^{2} + 4 x) + 4 x - 16) = 0$

Etapa 2.2.4.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$4 (x - 1) (x (- x + 4) - 4 (- x + 4)) = 0$

Etapa 2.2.4.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- x + 4$ .

$4 (x - 1) ((- x + 4) (x - 4)) = 0$

Etapa 2.2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 (x - 1) (- x + 4) (x - 4) = 0$

Etapa 2.2.5

Combine expoentes.

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Etapa 2.2.5.1

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$4 (x - 1) (- (x) + 4) (x - 4) = 0$

Etapa 2.2.5.2

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$4 (x - 1) (- (x) - 1 \cdot - 4) (x - 4) = 0$

Etapa 2.2.5.3

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$4 (x - 1) (- (x - 4)) (x - 4) = 0$

Etapa 2.2.5.4

Reescreva $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$4 (x - 1) (- 1 (x - 4)) (x - 4) = 0$

Etapa 2.2.5.5

Remova os parênteses.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 (x - 4) (x - 4)) = 0$

Etapa 2.2.5.6

Eleve $x - 4$ à potência de $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4))) = 0$

Etapa 2.2.5.7

Eleve $x - 4$ à potência de $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 ((x - 4) (x - 4))) = 0$

Etapa 2.2.5.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (x - 1) \cdot (- 1 {(x - 4)}^{1 + 1}) = 0$

Etapa 2.2.5.9

Some $1$ e $1$ .

$4 (x - 1) \cdot (- 1 {(x - 4)}^{2}) = 0$

Etapa 2.2.5.10

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina ${(x - 4)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva ${(x - 4)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 2.5.2.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- 4 (x - 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 1, 4$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x {(4 - x)}^{3}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$(1) {(4 - (1))}^{3}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique ${(4 - (1))}^{3}$ por $1$ .

${(4 - (1))}^{3}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

${(4 - 1)}^{3}$

Etapa 4.1.2.3

Subtraia $1$ de $4$ .

$3^{3}$

Etapa 4.1.2.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 4$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

$(4) {(4 - (4))}^{3}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$4 {(4 - 4)}^{3}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$4 \cdot 0^{3}$

Etapa 4.2.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$4 \cdot 0$

Etapa 4.2.2.4

Multiplique $4$ por $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(1, 27), (4, 0)$

Etapa 5