Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x^{2} - 1}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x^{2}}{x^{2} - 1})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{(x^{2} - 1) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 \cdot ((x^{2} - 1) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.3.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.6

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}})$

Etapa 1.1.7

Combine $2$ e $\frac{2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x^{2} - 1) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8

Simplifique.

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Etapa 1.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 ((2 x^{2} + 2 \cdot - 1) x - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x + 2 \cdot (- 1 x) - 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{2} x) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.8.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.8.4.1.1

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.8.4.1.1.1

Mova $x$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.1.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 1.1.8.4.1.1.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x \cdot x^{2})) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{1 + 2}) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.1.1.3

Some $1$ e $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3}) + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (2 \cdot (- 1 x)) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} + 2 (- 2 x) + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.1.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 4 x + 2 (- 2 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.1.5

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.2

Combine os termos opostos em $4 x^{3} - 4 x - 4 x^{3}$ .

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Etapa 1.1.8.4.2.1

Subtraia $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x + 0}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.4.2.2

Some $- 4 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.8.6

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.8.6.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x^{2} - 1^{2})}^{2}}$

Etapa 1.1.8.6.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{((x + 1) (x - 1))}^{2}}$

Etapa 1.1.8.6.3

Aplique a regra do produto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$f' (x) = - \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$4 x = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{4 x}{{(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.2

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.2.2.1

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.2.2

Resolva ${(x + 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.2.2.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3.2.3

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.2.3.1

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.3.2

Resolva ${(x - 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.2.3.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.2.3.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3.2.4

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 3.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Etapa 4

Avalie $\frac{2 x^{2}}{x^{2} - 1}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\frac{2 {(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 1}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{0^{2} - 1}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{0 - 1}$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0}{- 1}$

Etapa 4.1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.2.3.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{0}{- 1}$

Etapa 4.1.2.3.2

Divida $0$ por $- 1$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 1$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{{(- 1)}^{2} - 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{1 - 1}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2}}{0}$

Etapa 4.2.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.3.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{2 {(1)}^{2}}{{(1)}^{2} - 1}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

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Etapa 4.3.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{2 {(1)}^{2}}{1 - 1}$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{2 {(1)}^{2}}{0}$

Etapa 4.3.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0)$

Etapa 5