Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2 x}{\sqrt{x - 1}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - 1}$ como ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 1.1.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Etapa 1.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 1.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Etapa 1.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.1.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.5.2

Multiplique ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - 1$ .

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Etapa 1.1.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Etapa 1.1.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Etapa 1.1.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Etapa 1.1.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Etapa 1.1.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Etapa 1.1.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Etapa 1.1.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Etapa 1.1.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Etapa 1.1.11

Combine frações.

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Etapa 1.1.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Etapa 1.1.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Etapa 1.1.11.3

Mova ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1))}{x - 1})$

Etapa 1.1.11.4

Combine $\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 1)}{x - 1})$

Etapa 1.1.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1))}{x - 1})$

Etapa 1.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (- 1))}{x - 1})$

Etapa 1.1.14

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (1 + 0)}{x - 1})$

Etapa 1.1.15

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.15.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 1})$

Etapa 1.1.15.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.16

Para escrever ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.17

Combine ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.19

Multiplique ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.19.1

Mova ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.19.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.19.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.19.4

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.19.5

Divida $2$ por $2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x - 1) \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.20

Simplifique ${(x - 1)}^{1} \cdot 2$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{(x - 1) \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.21

Mova $2$ para a esquerda de $x - 1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{\frac{2 \cdot (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1})$

Etapa 1.1.22

Reescreva $\frac{\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$ como um produto.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 1})$

Etapa 1.1.23

Multiplique $\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{x - 1}$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)})$

Etapa 1.1.24

Eleve $x - 1$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 ((x - 1) {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})})$

Etapa 1.1.25

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{1 + \frac{1}{2}}})$

Etapa 1.1.26

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.26.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}})$

Etapa 1.1.26.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}})$

Etapa 1.1.26.3

Some $2$ e $1$ .

$f' (x) = 2 (\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 1.1.27

Combine $2$ e $\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 (x - 1) - x)}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.28

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 (2 (x - 1) - x)}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.29

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{2 (x - 1) - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.30

Simplifique.

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Etapa 1.1.30.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 x + 2 \cdot - 1 - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.30.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.30.2.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 x - 2 - x}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.1.30.2.2

Subtraia $x$ de $2 x$ .

$f' (x) = \frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{x - 2}{{(x - 1)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$x - 2 = 0$

Etapa 2.3

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{x - 2}{\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{x - 2}{\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{{(x - 1)}^{3}} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{{(x - 1)}^{3}}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{{(x - 1)}^{3}}$ como ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

${({(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x - 1)}^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x - 1)}^{3} = 0^{2}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(x - 1)}^{3} = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.3.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.3.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3.4

Defina o radicando em $\sqrt{{(x - 1)}^{3}}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 1)}^{3} < 0$

Etapa 3.5

Resolva $x$ .

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Etapa 3.5.1

Take the specified root of both sides of the inequality to eliminate the exponent on the left side.

$\sqrt[3]{{(x - 1)}^{3}} < \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.5.2

Simplifique a equação.

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Etapa 3.5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$x - 1 < \sqrt[3]{0}$

Etapa 3.5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.2.2.1

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 3.5.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x - 1 < \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 3.5.2.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x - 1 < 0$

Etapa 3.5.3

Some $1$ aos dois lados da desigualdade.

$x < 1$

Etapa 3.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

$x \leq 1$

$(- \infty, 1]$

Etapa 4

Avalie $\frac{2 x}{\sqrt{x - 1}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$\frac{2 (2)}{\sqrt{(2) - 1}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{2 - 1}}$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{4}{\sqrt{1}}$

Etapa 4.1.2.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{4}{1}$

Etapa 4.1.2.3

Divida $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{2 (1)}{\sqrt{(1) - 1}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Remova os parênteses.

$\frac{2 (1)}{\sqrt{1 - 1}}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{2 (1)}{\sqrt{0}}$

Etapa 4.2.2.3

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{2 (1)}{\sqrt{0^{2}}}$

Etapa 4.2.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{2 (1)}{0}$

Etapa 4.2.2.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(2, 4)$

Etapa 5