Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 1.1.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 1.1.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 1.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 1.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 1.1.5.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 1.1.6

Combine frações.

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Etapa 1.1.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 1.1.6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 1.1.6.3

Mova ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

Etapa 1.1.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.1.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x + 0)$

Etapa 1.1.10

Combine frações.

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Etapa 1.1.10.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (2 x)$

Etapa 1.1.10.2

Combine $2$ e $\frac{1}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot x$

Etapa 1.1.10.3

Combine $\frac{2}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x$ .

$f' (x) = \frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x = 0$

Etapa 2.3

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 x = 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x = 0$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{2 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{2}}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Etapa 3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$27 {(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$27 {((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.1.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.3.1

Aplique a regra do produto a $(x + 1) (x - 1)$ .

$27 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0$

Etapa 3.3.3.1.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.3

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Defina ${(x + 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.3.2

Resolva ${(x + 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.2.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.3.3.3.2.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3.3.3.4

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.4.1

Defina ${(x - 1)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.4.2

Resolva ${(x - 1)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.3.3.4.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.3.3.4.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3.3.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $27 {(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 1, 1$

Etapa 3.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Etapa 4

Avalie ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${({(0)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(0 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.2

Subtraia $1$ de $0$ .

${(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.3

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

${({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.2.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 4.1.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

${(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 4.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

${(- 1)}^{1}$

Etapa 4.1.2.3

Avalie o expoente.

$- 1$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $- 1$ por $x$ .

${({(- 1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$0^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.3

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 4.2.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 4.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$0^{1}$

Etapa 4.2.2.3

Avalie o expoente.

$0$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $1$ por $x$ .

${({(1)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

${(1 - 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$0^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.3

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.3.2.1.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$0^{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 4.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$0^{1}$

Etapa 4.3.2.3

Avalie o expoente.

$0$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, - 1), (- 1, 0), (1, 0)$

Etapa 5