Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} - 4$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.2

Multiplique $x^{2} - 4$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} - 4)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (- 4))}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - x (2 x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.6

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{x^{2} - 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$- x^{2} - 4 = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$- x^{2} = 4$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $- x^{2} = 4$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = 4$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{4}{- 1}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{4}{- 1}$

Etapa 2.3.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{4}{- 1}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Divida $4$ por $- 1$ .

$x^{2} = - 4$

Etapa 2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 4}$

Etapa 2.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{- 4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Reescreva $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

Etapa 2.3.4.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

Etapa 2.3.4.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

Etapa 2.3.4.4

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

Etapa 2.3.4.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm i \cdot 2$

Etapa 2.3.4.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$x = \pm 2 i$

Etapa 2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2 i$

Etapa 2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2 i$

Etapa 2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2 i, - 2 i$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{- x^{2} - 4}{{(x^{2} - 4)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x^{2} - 4)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

${(x^{2} - 2^{2})}^{2} = 0$

Etapa 3.2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

${((x + 2) (x - 2))}^{2} = 0$

Etapa 3.2.1.3

Aplique a regra do produto a $(x + 2) (x - 2)$ .

${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.3

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Defina ${(x + 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.3.2

Resolva ${(x + 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.2.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 3.2.3.2.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 3.2.4

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 3.2.4.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.2.4.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.2.5

A solução final são todos os valores que tornam ${(x + 2)}^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, 2$

Etapa 3.3

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = - 2, x = 2$

Etapa 4

Avalie $\frac{x}{x^{2} - 4}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

$\frac{- 2}{{(- 2)}^{2} - 4}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\frac{- 2}{4 - 4}$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{- 2}{0}$

Etapa 4.1.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.2

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

$\frac{2}{{(2)}^{2} - 4}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{2}{4 - 4}$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{2}{0}$

Etapa 4.2.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 5

Não há valores de $x$ no domínio do problema original, em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Nenhum ponto crítico encontrado