Cálculo Exemplos

$f (x) = \sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ como ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} - 2 x$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Etapa 1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Etapa 1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Etapa 1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Etapa 1.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Etapa 1.1.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Etapa 1.1.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Etapa 1.1.7.2

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{{(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Etapa 1.1.7.3

Mova ${(x^{2} - 2 x)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]$

Etapa 1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 1.1.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Etapa 1.1.10

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2 \cdot 1)$

Etapa 1.1.12

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$

Etapa 1.1.13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} (2 x - 2)$ .

$(2 x - 2) \frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.13.2

Multiplique $2 x - 2$ por $\frac{1}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 x - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.13.3

Fatore $2$ de $2 x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.13.3.1

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 (x) - 2}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.13.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.1.13.3.3

Fatore $2$ de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$f' (x) = \frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2 (x - 1)}{3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (x - 1) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 (x - 1) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Divida cada termo em $2 (x - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Divida $x - 1$ por $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{2 (x - 1)}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{{(x^{2} - 2 x)}^{2}}$ como ${(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 {(x^{2} - 2 x)}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1

Fatore $x$ de $x^{2} - 2 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$27 {(x \cdot x - 2 x)}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.1.1.2

Fatore $x$ de $- 2 x$ .

$27 {(x \cdot x + x \cdot - 2)}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$27 {(x (x - 2))}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1.2.1

Aplique a regra do produto a $x (x - 2)$ .

$27 (x^{2} {(x - 2)}^{2}) = 0$

Etapa 3.3.3.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.3

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.3.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3.3.3.3.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.3.3.3.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.3.3.3.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.3.3.4

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.4.1

Defina ${(x - 2)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Etapa 3.3.3.4.2

Resolva ${(x - 2)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.4.2.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.3.3.4.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.3.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $27 x^{2} {(x - 2)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 3.4

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x = 0, x = 2$

Etapa 4

Avalie $\sqrt[3]{x^{2} - 2 x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\sqrt[3]{{(1)}^{2} - 2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\sqrt[3]{1 - 2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\sqrt[3]{1 - 2}$

Etapa 4.1.2.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$\sqrt[3]{- 1}$

Etapa 4.1.2.4

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\sqrt[3]{{(- 1)}^{3}}$

Etapa 4.1.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$- 1$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\sqrt[3]{{(0)}^{2} - 2 \cdot 0}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\sqrt[3]{0 - 2 \cdot 0}$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$\sqrt[3]{0 + 0}$

Etapa 4.2.2.3

Some $0$ e $0$ .

$\sqrt[3]{0}$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 4.2.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$0$

Etapa 4.3

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

$\sqrt[3]{{(2)}^{2} - 2 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 2 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\sqrt[3]{4 - 4}$

Etapa 4.3.2.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Etapa 4.3.2.4

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 4.3.2.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$0$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(1, - 1), (0, 0), (2, 0)$

Etapa 5