Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - 4 x + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.6.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.6.1.2

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.6.2

Subtraia $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.2.6.3

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - 3 x^{2} - 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{4} - lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - lim_{x \to 2} 3 x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.6

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2^{4} - 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2^{4} - 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.7.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{0}{16 - 3 \cdot 2^{2} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.7.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{16 - 3 \cdot 4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.7.1.3

Multiplique $- 3$ por $4$ .

$\frac{0}{16 - 12 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{16 - 12 - 4}$

Etapa 1.1.3.7.2

Subtraia $12$ de $16$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.1.3.7.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{4} - 3 x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 4 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.5

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.6

Some $2 x - 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2} - 4]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 3 x^{2} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.9.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 6 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.10

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 6 x + 0}$

Etapa 1.3.11

Some $4 x^{3} - 6 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 x - 4}{4 x^{3} - 6 x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - 6 x}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - 6 x}$

Etapa 2.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - 6 x}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - 6 x}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 2} 4 x^{3} - lim_{x \to 2} 6 x}$

Etapa 2.6

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{4 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 6 x}$

Etapa 2.7

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 6 x}$

Etapa 2.8

Mova o termo $6$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 4}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 6 lim_{x \to 2} x}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 6 lim_{x \to 2} x}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2^{3} - 6 lim_{x \to 2} x}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $2 \cdot 2 - 1 \cdot 4$ e $4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $- 1$ de $2 \cdot 2$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 2) - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 4$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 2) - 1 (4)}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

Etapa 4.1.3

Fatore $- 1$ de $- (- 2 \cdot 2) - 1 (4)$ .

$\frac{- (- 2 \cdot 2 + 4)}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

Etapa 4.1.4

Reescreva $- (- 2 \cdot 2 + 4)$ como $- 1 (- 2 \cdot 2 + 4)$ .

$\frac{- 1 (- 2 \cdot 2 + 4)}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

Etapa 4.1.5

Reordene os termos.

$\frac{- 1 (4 - 2 \cdot 2)}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

Etapa 4.1.6

Fatore $2$ de $- 1 (4 - 2 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{4 \cdot 2^{3} - 6 \cdot 2}$

Etapa 4.1.7

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.7.1

Fatore $2$ de $4 \cdot 2^{3}$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{2 (2 \cdot 2^{3}) - 6 \cdot 2}$

Etapa 4.1.7.2

Fatore $2$ de $- 6 \cdot 2$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (- 3 \cdot 2)}$

Etapa 4.1.7.3

Fatore $2$ de $2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (- 3 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{2 (2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2)}$

Etapa 4.1.7.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 1 (2 - 1 \cdot 2))}{2 (2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2)}$

Etapa 4.1.7.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (2 - 1 \cdot 2)}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $2 - 1 \cdot 2$ e $2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2$ .

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Etapa 4.2.1

Reescreva $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- 2) - 1 \cdot 2)}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

Etapa 4.2.2

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- 2) - 1 (2))}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

Etapa 4.2.3

Fatore $- 1$ de $- 1 (- 2) - 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (- 1 (- 2 + 2))}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

Etapa 4.2.4

Fatore $2$ de $- 1 (- 1 (- 2 + 2))$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 \cdot 2^{3} - 3 \cdot 2}$

Etapa 4.2.5

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.5.1

Fatore $2$ de $2 \cdot 2^{3}$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 (2^{3}) - 3 \cdot 2}$

Etapa 4.2.5.2

Fatore $2$ de $- 3 \cdot 2$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 (2^{3}) + 2 \cdot - 3}$

Etapa 4.2.5.3

Fatore $2$ de $2 (2^{3}) + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 (2^{3} - 3)}$

Etapa 4.2.5.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 1 (- 1 (- 1 + 1)))}{2 (2^{3} - 3)}$

Etapa 4.2.5.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 1 (- 1 (- 1 + 1))}{2^{3} - 3}$

Etapa 4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 (- 1 + 1)}{2^{3} - 3}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $- 1 + 1$ por $1$ .

$\frac{- 1 + 1}{2^{3} - 3}$

Etapa 4.4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.4.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{- 1 + 1}{8 - 3}$

Etapa 4.4.2

Subtraia $3$ de $8$ .

$\frac{- 1 + 1}{5}$

Etapa 4.5

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{5}$

Etapa 4.6

Divida $0$ por $5$ .

$0$