Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{\frac{5}{3}} + 5 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{5}{3}} + 5 x^{\frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{3}}) + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.2.5.2

Subtraia $3$ de $5$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 1.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 1.1.3.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 1.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 1.1.3.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + 5 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Etapa 1.1.3.9

Combine $5$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{5 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Etapa 1.1.3.10

Multiplique $2$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{10 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.1.3.11

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.1.4

Combine $\frac{5}{3}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 2.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$

Etapa 2.2.2

Since $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $3, 3, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{1}{3}}$ .

Etapa 2.2.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.2.4

Como $3$ não tem fatores além de $1$ e $3$ .

$3$ é um número primo

Etapa 2.2.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.2.6

O MMC de $3, 3, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$3$

Etapa 2.2.7

O MMC de $x^{\frac{1}{3}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.2.8

O MMC de $3, 3 x^{\frac{1}{3}}, 1$ é a parte numérica $3$ multiplicada pela parte variável.

$3 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.3

Multiplique cada termo em $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.3.1

Multiplique cada termo em $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} = 0$ por $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} (3 x^{\frac{1}{3}}) + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} x^{\frac{1}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$5 x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{1}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.3

Multiplique $x^{\frac{2}{3}}$ por $x^{\frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.2.1.3.1

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.3.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 x^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 x^{\frac{1 + 2}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.3.4

Some $1$ e $2$ .

$5 x^{\frac{3}{3}} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.3.5

Divida $3$ por $3$ .

$5 x^{1} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.4

Simplifique $5 x^{1}$ .

$5 x + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} (3 x^{\frac{1}{3}}) = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x + 3 \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.6

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$5 x + 3 \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$5 x + \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.7

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 2.3.2.1.7.1

Cancele o fator comum.

$5 x + \frac{10}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.2.1.7.2

Reescreva a expressão.

$5 x + 10 = 0 (3 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.3.1

Multiplique $0 (3 x^{\frac{1}{3}})$ .

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Etapa 2.3.3.1.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$5 x + 10 = 0 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.3.3.1.2

Multiplique $0$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 x + 10 = 0$

Etapa 2.4

Resolva a equação.

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Etapa 2.4.1

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$5 x = - 10$

Etapa 2.4.2

Divida cada termo em $5 x = - 10$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.1

Divida cada termo em $5 x = - 10$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10}{5}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 10}{5}$

Etapa 2.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 10}{5}$

Etapa 2.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.3.1

Divida $- 10$ por $5$ .

$x = - 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 3.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} + \frac{10}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 3.1.2

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} + \frac{10}{3 \sqrt[3]{x^{1}}}$

Etapa 3.1.3

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{5 \sqrt[3]{x^{2}}}{3} + \frac{10}{3 \sqrt[3]{x}}$

Etapa 3.2

Defina o denominador em $\frac{10}{3 \sqrt[3]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x} = 0$

Etapa 3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.2.1

Simplifique ${(3 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 x^{1} = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.2.1.4

Simplifique.

$27 x = 0^{3}$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x = 0$

Etapa 3.3.3

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida cada termo em $27 x = 0$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x}{27} = \frac{0}{27}$

Etapa 3.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{27}$

Etapa 3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.3.1

Divida $0$ por $27$ .

$x = 0$

Etapa 4

Avalie $x^{\frac{5}{3}} + 5 x^{\frac{2}{3}}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{\frac{5}{3}} + 5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{\frac{5}{3}} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

${(0^{3})}^{\frac{5}{3}} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0^{3 (\frac{5}{3})} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$0^{3 (\frac{5}{3})} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$0^{5} + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 5 {(0)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.5

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$0 + 5 {(0^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 4.2.2.1.6

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 + 5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.2.2.1.7

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.7.1

Cancele o fator comum.

$0 + 5 \cdot 0^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 4.2.2.1.7.2

Reescreva a expressão.

$0 + 5 \cdot 0^{2}$

Etapa 4.2.2.1.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 5 \cdot 0$

Etapa 4.2.2.1.9

Multiplique $5$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, {(- 2)}^{\frac{5}{3}} + 5 {(- 2)}^{\frac{2}{3}}), (0, 0)$

Etapa 5