Cálculo Exemplos

$x^{6} e^{x} - 5$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{6} e^{x} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{6} e^{x}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{6} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Etapa 1.1.3

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5}) + 0$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Some $x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$ e $0$ .

$x^{6} e^{x} + e^{x} (6 x^{5})$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os termos.

$e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$

Etapa 1.1.4.3

Reordene os fatores em $e^{x} x^{6} + 6 e^{x} x^{5}$ .

$f' (x) = x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ .

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x^{5} e^{x}$ de $x^{6} e^{x} + 6 x^{5} e^{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $x^{5} e^{x}$ de $x^{6} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} (x) + 6 x^{5} e^{x} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $x^{5} e^{x}$ de $6 x^{5} e^{x}$ .

$x^{5} e^{x} (x) + x^{5} e^{x} (6) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $x^{5} e^{x}$ de $x^{5} e^{x} (x) + x^{5} e^{x} (6)$ .

$x^{5} e^{x} (x + 6) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{5} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x^{5}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x^{5}$ como igual a $0$ .

$x^{5} = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $x^{5} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[5]{0}$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique $\sqrt[5]{0}$ .

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Etapa 2.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Etapa 2.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 2.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.5.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.6

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 2.6.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x^{5} e^{x} (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 6$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{6} e^{x} - 5$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{6} e^{0} - 5$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 e^{0} - 5$

Etapa 4.1.2.1.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1 - 5$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$0 - 5$

Etapa 4.1.2.2

Subtraia $5$ de $0$ .

$- 5$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 6$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 6$ por $x$ .

${(- 6)}^{6} e^{- 6} - 5$

Etapa 4.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 6$ à potência de $6$ .

$46656 e^{- 6} - 5$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$46656 \frac{1}{e^{6}} - 5$

Etapa 4.2.2.3

Combine $46656$ e $\frac{1}{e^{6}}$ .

$\frac{46656}{e^{6}} - 5$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0, - 5), (- 6, \frac{46656}{e^{6}} - 5)$

Etapa 5