Cálculo Exemplos

$x^{2} e^{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reordene os termos.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os fatores em $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $x e^{x}$ de $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $x e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $x e^{x}$ de $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $x e^{x}$ de $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 2.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.5.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.6

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $x e^{x} (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{2} e^{x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} e^{0}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 e^{0}$

Etapa 4.1.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $0$ por $1$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - 2$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$4 e^{- 2}$

Etapa 4.2.2.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 4.2.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (- 2, \frac{4}{e^{2}})$

Etapa 5