Cálculo Exemplos

$x^{2} e^{8 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{8 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{8 x}] + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x$ .

$x^{2} (e^{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (e^{8 x} (8 \cdot 1)) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $8$ por $1$ .

$x^{2} (e^{8 x} \cdot 8) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.3.2

Mova $8$ para a esquerda de $e^{8 x}$ .

$x^{2} (8 \cdot e^{8 x}) + e^{8 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (8 e^{8 x}) + e^{8 x} (2 x)$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Reordene os termos.

$8 e^{8 x} x^{2} + 2 e^{8 x} x$

Etapa 1.1.4.2

Reordene os fatores em $8 e^{8 x} x^{2} + 2 e^{8 x} x$ .

$f' (x) = 8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$ .

$8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x} = 0$

Etapa 2.2

Fatore $2 x e^{8 x}$ de $8 x^{2} e^{8 x} + 2 x e^{8 x}$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $2 x e^{8 x}$ de $8 x^{2} e^{8 x}$ .

$2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $2 x e^{8 x}$ de $2 x e^{8 x}$ .

$2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} (1) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $2 x e^{8 x}$ de $2 x e^{8 x} (4 x) + 2 x e^{8 x} (1)$ .

$2 x e^{8 x} (4 x + 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$e^{8 x} = 0$

$4 x + 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $e^{8 x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $e^{8 x}$ como igual a $0$ .

$e^{8 x} = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $e^{8 x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{8 x}) = \ln (0)$

Etapa 2.5.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.5.2.3

Não há uma solução para $e^{8 x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.6

Defina $4 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.6.1

Defina $4 x + 1$ como igual a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Etapa 2.6.2

Resolva $4 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.6.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$4 x = - 1$

Etapa 2.6.2.2

Divida cada termo em $4 x = - 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.6.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 2.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Etapa 2.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Etapa 2.6.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.6.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1}{4}$

Etapa 2.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 x e^{8 x} (4 x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - \frac{1}{4}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x^{2} e^{8 x}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{2} e^{8 (0)}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 e^{8 (0)}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$0 e^{0}$

Etapa 4.1.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$0 \cdot 1$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $0$ por $1$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = - \frac{1}{4}$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $- \frac{1}{4}$ por $x$ .

${(- \frac{1}{4})}^{2} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 4.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{4}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 4.2.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 \frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 4.2.2.2.2

Multiplique $\frac{1^{2}}{4^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1^{2}}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 4.2.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{4^{2}} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 4.2.2.2.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{16} e^{8 (- \frac{1}{4})}$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.2.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$\frac{1}{16} e^{8 (\frac{- 1}{4})}$

Etapa 4.2.2.3.2

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{1}{16} e^{4 (2) \frac{- 1}{4}}$

Etapa 4.2.2.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{16} e^{4 \cdot 2 \frac{- 1}{4}}$

Etapa 4.2.2.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{16} e^{2 \cdot - 1}$

Etapa 4.2.2.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{16} e^{- 2}$

Etapa 4.2.2.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{16} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Etapa 4.2.2.6

Combine.

$\frac{1 \cdot 1}{16 e^{2}}$

Etapa 4.2.2.7

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{16 e^{2}}$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (- \frac{1}{4}, \frac{1}{16 e^{2}})$

Etapa 5