Cálculo Exemplos

$\cos^{2} (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Etapa 2.3

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.3.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 2.3.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 2.3.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.3.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 2.3.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.3.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.3.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 2.3.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.3.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.3.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.3.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.3.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.3.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.3.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.4

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.4.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 2.4.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 2.4.2.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.4.2.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $- 2 \cos (x) \sin (x) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.6

Consolide as respostas.

$x = \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $\cos^{2} (x)$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$\cos^{2} (0)$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1^{2}$

Etapa 4.1.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$1$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$\cos^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$0^{2}$

Etapa 4.2.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0$

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(0 + π n, 1), (\frac{π}{2} + π n, 0)$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 5