Cálculo Exemplos

$y = 5 x^{3} - 3 x$ , $(1, 2)$

Etapa 1

Escreva $y = 5 x^{3} - 3 x$ como uma função.

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Etapa 2

Verifique se o ponto determinado está no gráfico da função fornecida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$ em $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 5 {(1)}^{3} - 3 \cdot 1$

Etapa 2.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 5 \cdot 1 - 3 \cdot 1$

Etapa 2.1.2.1.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (1) = 5 - 3 \cdot 1$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f (1) = 5 - 3$

Etapa 2.1.2.2

Subtraia $3$ de $5$ .

$f (1) = 2$

Etapa 2.1.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 2.2

Como $2 = 2$ , o ponto está no gráfico.

O ponto está no gráfico

Etapa 3

A inclinação da reta tangente é a derivada da expressão.

$m$ $=$ A derivada de $f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Etapa 4

Considere a definição de limite da derivada.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Etapa 5

Encontre os componentes da definição.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Avalie a função em $x = x + h$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Substitua a variável $x$ por $x + h$ na expressão.

$f (x + h) = 5 {(x + h)}^{3} - 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Use o teorema binomial.

$f (x + h) = 5 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 5 (3 x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.3.1

Multiplique $3$ por $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 5 (3 x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.3.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 (x^{2} h) + 15 (x h^{2}) + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.4

Remova os parênteses.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 (x + h)$

Etapa 5.1.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x + h) = 5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Etapa 5.1.2.2

A resposta final é $5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$ .

$5 x^{3} + 15 x^{2} h + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Etapa 5.2

Reordene.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Mova $x^{2}$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 x h^{2} + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Etapa 5.2.2

Mova $x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 x - 3 h$

Etapa 5.2.3

Mova $- 3 x$ .

$5 x^{3} + 15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} - 3 h - 3 x$

Etapa 5.2.4

Mova $5 x^{3}$ .

$15 h x^{2} + 15 h^{2} x + 5 h^{3} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Etapa 5.2.5

Mova $15 h x^{2}$ .

$15 h^{2} x + 5 h^{3} + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Etapa 5.2.6

Reordene $15 h^{2} x$ e $5 h^{3}$ .

$5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

Etapa 5.3

Encontre os componentes da definição.

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

$f (x + h) = 5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x$

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x$

Etapa 6

Substitua os componentes.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3} - 3 x)}{h}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - (5 x^{3}) - (- 3 x)}{h}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} - (- 3 x)}{h}$

Etapa 7.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} + 5 x^{3} - 3 h - 3 x - 5 x^{3} + 3 x}{h}$

Etapa 7.1.4

Subtraia $5 x^{3}$ de $5 x^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 0 + 3 x}{h}$

Etapa 7.1.5

Some $5 h^{3}$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h - 3 x + 3 x}{h}$

Etapa 7.1.6

Some $- 3 x$ e $3 x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h + 0}{h}$

Etapa 7.1.7

Some $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ e $0$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Etapa 7.1.8

Fatore $h$ de $5 h^{3} + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h$ .

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Etapa 7.1.8.1

Fatore $h$ de $5 h^{3}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + 15 h^{2} x + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Etapa 7.1.8.2

Fatore $h$ de $15 h^{2} x$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + 15 h x^{2} - 3 h}{h}$

Etapa 7.1.8.3

Fatore $h$ de $15 h x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) - 3 h}{h}$

Etapa 7.1.8.4

Fatore $h$ de $- 3 h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2}) + h (15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Etapa 7.1.8.5

Fatore $h$ de $h (5 h^{2}) + h (15 h x)$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Etapa 7.1.8.6

Fatore $h$ de $h (5 h^{2} + 15 h x) + h (15 x^{2})$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3}{h}$

Etapa 7.1.8.7

Fatore $h$ de $h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2}) + h \cdot - 3$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

Etapa 7.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 7.2.1

Cancele o fator comum de $h$ .

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum.

$f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{h (5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3)}{h}$

Etapa 7.2.1.2

Divida $5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$ por $1$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 h x + 15 x^{2} - 3$

Etapa 7.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.2.2.1

Mova $h$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 5 h^{2} + 15 x h + 15 x^{2} - 3$

Etapa 7.2.2.2

Mova $5 h^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x h + 15 x^{2} + 5 h^{2} - 3$

Etapa 7.2.2.3

Reordene $15 x h$ e $15 x^{2}$ .

$f' (x) = lim_{h \to 0} 15 x^{2} + 15 x h + 5 h^{2} - 3$

Etapa 8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $h$ se aproxima de $0$ .

$lim_{h \to 0} 15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Etapa 9

Avalie o limite de $15 x^{2}$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$15 x^{2} + lim_{h \to 0} 15 x h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Etapa 10

Mova o termo $15 x$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + lim_{h \to 0} 5 h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Etapa 11

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $h$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 lim_{h \to 0} h^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Etapa 12

Mova o expoente $2$ de $h^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - lim_{h \to 0} 3$

Etapa 13

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $h$ se aproxima de $0$ .

$15 x^{2} + 15 x lim_{h \to 0} h + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Etapa 14

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $h$ .

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Etapa 14.1

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 {(lim_{h \to 0} h)}^{2} - 1 \cdot 3$

Etapa 14.2

Avalie o limite de $h$ substituindo $0$ por $h$ .

$15 x^{2} + 15 x \cdot 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Etapa 15

Simplifique a resposta.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Multiplique $15 x \cdot 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1.1

Multiplique $0$ por $15$ .

$15 x^{2} + 0 x + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Etapa 15.1.1.2

Multiplique $0$ por $x$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 3$

Etapa 15.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 5 \cdot 0 - 1 \cdot 3$

Etapa 15.1.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 1 \cdot 3$

Etapa 15.1.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$15 x^{2} + 0 + 0 - 3$

Etapa 15.2

Combine os termos opostos em $15 x^{2} + 0 + 0 - 3$ .

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Etapa 15.2.1

Some $15 x^{2}$ e $0$ .

$15 x^{2} + 0 - 3$

Etapa 15.2.2

Some $15 x^{2}$ e $0$ .

$15 x^{2} - 3$

Etapa 16

Encontre a inclinação $m$ . Neste caso, $m = 12$ .

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Etapa 16.1

Remova os parênteses.

$m = 15 \cdot 1^{2} - 3$

Etapa 16.2

Simplifique $15 \cdot 1^{2} - 3$ .

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Etapa 16.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$m = 15 \cdot 1 - 3$

Etapa 16.2.1.2

Multiplique $15$ por $1$ .

$m = 15 - 3$

Etapa 16.2.2

Subtraia $3$ de $15$ .

$m = 12$

Etapa 17

A inclinação é $m = 12$ , e o ponto é $(1, 2)$ .

$m = 12, (1, 2)$

Etapa 18

Encontre o valor de $b$ usando a fórmula para a equação de uma linha.

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Etapa 18.1

Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar $b$ .

$y = m x + b$

Etapa 18.2

Substitua o valor de $m$ na equação.

$y = (12) \cdot x + b$

Etapa 18.3

Substitua o valor de $x$ na equação.

$y = (12) \cdot (1) + b$

Etapa 18.4

Substitua o valor de $y$ na equação.

$2 = (12) \cdot (1) + b$

Etapa 18.5

Encontre o valor de $b$ .

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Etapa 18.5.1

Reescreva a equação como $(12) \cdot (1) + b = 2$ .

$(12) \cdot (1) + b = 2$

Etapa 18.5.2

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 + b = 2$

Etapa 18.5.3

Mova todos os termos que não contêm $b$ para o lado direito da equação.

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Etapa 18.5.3.1

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$b = 2 - 12$

Etapa 18.5.3.2

Subtraia $12$ de $2$ .

$b = - 10$

Etapa 19

Agora que os valores de $m$ (inclinação) e $b$ (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em $y = m x + b$ para encontrar a equação da reta.

$y = 12 x - 10$

Etapa 20