Cálculo Exemplos

Encontre a Tangente em um Ponto Dado Usando a Definição de Limite y=5x^3-3x , (1,2)
,
Etapa 1
Escreva como uma função.
Etapa 2
Verifique se o ponto determinado está no gráfico da função fornecida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
Avalie em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 2.1.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1.2.1.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 2.1.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.1.3
Multiplique por .
Etapa 2.1.2.2
Subtraia de .
Etapa 2.1.2.3
A resposta final é .
Etapa 2.2
Como , o ponto está no gráfico.
O ponto está no gráfico
O ponto está no gráfico
Etapa 3
A inclinação da reta tangente é a derivada da expressão.
A derivada de
Etapa 4
Considere a definição de limite da derivada.
Etapa 5
Encontre os componentes da definição.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Avalie a função em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 5.1.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1.2.1.1
Use o teorema binomial.
Etapa 5.1.2.1.2
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 5.1.2.1.3
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1.2.1.3.1
Multiplique por .
Etapa 5.1.2.1.3.2
Multiplique por .
Etapa 5.1.2.1.4
Remova os parênteses.
Etapa 5.1.2.1.5
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 5.1.2.2
A resposta final é .
Etapa 5.2
Reordene.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.1
Mova .
Etapa 5.2.2
Mova .
Etapa 5.2.3
Mova .
Etapa 5.2.4
Mova .
Etapa 5.2.5
Mova .
Etapa 5.2.6
Reordene e .
Etapa 5.3
Encontre os componentes da definição.
Etapa 6
Substitua os componentes.
Etapa 7
Simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1.1
Aplique a propriedade distributiva.
Etapa 7.1.2
Multiplique por .
Etapa 7.1.3
Multiplique por .
Etapa 7.1.4
Subtraia de .
Etapa 7.1.5
Some e .
Etapa 7.1.6
Some e .
Etapa 7.1.7
Some e .
Etapa 7.1.8
Fatore de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.1.8.1
Fatore de .
Etapa 7.1.8.2
Fatore de .
Etapa 7.1.8.3
Fatore de .
Etapa 7.1.8.4
Fatore de .
Etapa 7.1.8.5
Fatore de .
Etapa 7.1.8.6
Fatore de .
Etapa 7.1.8.7
Fatore de .
Etapa 7.2
Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.1
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.1.1
Cancele o fator comum.
Etapa 7.2.1.2
Divida por .
Etapa 7.2.2
Simplifique a expressão.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 7.2.2.1
Mova .
Etapa 7.2.2.2
Mova .
Etapa 7.2.2.3
Reordene e .
Etapa 8
Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que se aproxima de .
Etapa 9
Avalie o limite de , que é constante à medida que se aproxima de .
Etapa 10
Mova o termo para fora do limite, porque ele é constante em relação a .
Etapa 11
Mova o termo para fora do limite, porque ele é constante em relação a .
Etapa 12
Mova o expoente de para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.
Etapa 13
Avalie o limite de , que é constante à medida que se aproxima de .
Etapa 14
Avalie os limites substituindo por todas as ocorrências de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 14.1
Avalie o limite de substituindo por .
Etapa 14.2
Avalie o limite de substituindo por .
Etapa 15
Simplifique a resposta.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.1.1
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.1.1.1
Multiplique por .
Etapa 15.1.1.2
Multiplique por .
Etapa 15.1.2
Elevar a qualquer potência positiva produz .
Etapa 15.1.3
Multiplique por .
Etapa 15.1.4
Multiplique por .
Etapa 15.2
Combine os termos opostos em .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.2.1
Some e .
Etapa 15.2.2
Some e .
Etapa 16
Encontre a inclinação . Neste caso, .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 16.1
Remova os parênteses.
Etapa 16.2
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 16.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 16.2.1.1
Um elevado a qualquer potência é um.
Etapa 16.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 16.2.2
Subtraia de .
Etapa 17
A inclinação é , e o ponto é .
Etapa 18
Encontre o valor de usando a fórmula para a equação de uma linha.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 18.1
Use a fórmula para a equação de uma reta para encontrar .
Etapa 18.2
Substitua o valor de na equação.
Etapa 18.3
Substitua o valor de na equação.
Etapa 18.4
Substitua o valor de na equação.
Etapa 18.5
Encontre o valor de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 18.5.1
Reescreva a equação como .
Etapa 18.5.2
Multiplique por .
Etapa 18.5.3
Mova todos os termos que não contêm para o lado direito da equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 18.5.3.1
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 18.5.3.2
Subtraia de .
Etapa 19
Agora que os valores de (inclinação) e (intersecção com o eixo y) são conhecidos, substitua-os em para encontrar a equação da reta.
Etapa 20