Cálculo Exemplos

$x^{2} + x y + y^{2} = 3$

Etapa 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + x y + y^{2} - 3 = 0$

Etapa 1.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 1.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = x$ e $c = x^{2} - 3$ na fórmula quadrática e resolva $y$ .

$\frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} - 3))}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.4

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.5

Reescreva $- 3 x^{2} + 12$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.5.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2} + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.5.1.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.5.1.2

Fatore $3$ de $12$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.5.1.3

Fatore $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (4)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.5.3

Reordene $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2^{2} - x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.1.5.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Etapa 1.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

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Etapa 1.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.4

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.5

Reescreva $- 3 x^{2} + 12$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.5.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2} + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.5.1.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.5.1.2

Fatore $3$ de $12$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.5.1.3

Fatore $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (4)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.5.3

Reordene $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2^{2} - x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.1.5.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Etapa 1.5.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$y = \frac{- x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Etapa 1.5.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{- (x) + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Etapa 1.5.5

Fatore $- 1$ de $\sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}$ .

$y = \frac{- (x) - 1 (- \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Etapa 1.5.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ .

$y = \frac{- (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Etapa 1.5.7

Reescreva $- (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ como $- 1 (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ .

$y = \frac{- 1 (x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Etapa 1.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Etapa 1.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

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Etapa 1.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.6.1.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 \cdot (x^{2} - 3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot - 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 3$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{x^{2} - 4 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.4

Subtraia $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{- 3 x^{2} + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.5

Reescreva $- 3 x^{2} + 12$ em uma forma fatorada.

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Etapa 1.6.1.5.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2} + 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.5.1.1

Fatore $3$ de $- 3 x^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 12}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.5.1.2

Fatore $3$ de $12$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2}) + 3 (4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.5.1.3

Fatore $3$ de $3 (- x^{2}) + 3 (4)$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.5.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (- x^{2} + 2^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.5.3

Reordene $- x^{2}$ e $2^{2}$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2^{2} - x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.1.5.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 2$ e $b = x$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$y = \frac{- x \pm \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Etapa 1.6.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$y = \frac{- x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Etapa 1.6.4

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y = \frac{- (x) - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Etapa 1.6.5

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}$ .

$y = \frac{- (x) - (\sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Etapa 1.6.6

Fatore $- 1$ de $- (x) - (\sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ .

$y = \frac{- (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Etapa 1.6.7

Reescreva $- (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ como $- 1 (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})$ .

$y = \frac{- 1 (x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)})}{2}$

Etapa 1.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Etapa 1.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Etapa 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

$y = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2} \to f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$

Etapa 3

Because the $y$ variable in the equation $x^{2} + x y + y^{2} = 3$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y + y^{2}) = \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x y + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 3.2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.2.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Etapa 3.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + x y' + y + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + x y' + y + 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + x y' + y + 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + x y' + y + 2 y y'$

Etapa 3.2.4

Reordene os termos.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y$

Etapa 3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 3.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x y' + 2 y y' + 2 x + y = 0$

Etapa 3.5

Resolva $y'$ .

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Etapa 3.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x y' + 2 y y' + y = - 2 x$

Etapa 3.5.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' + 2 y y' = - 2 x - y$

Etapa 3.5.2

Fatore $y'$ de $x y' + 2 y y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Fatore $y'$ de $x y'$ .

$y' x + 2 y y' = - 2 x - y$

Etapa 3.5.2.2

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (x) + y' (2 y) = - 2 x - y$

Etapa 3.5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (x) + y' (2 y)$ .

$y' (x + 2 y) = - 2 x - y$

Etapa 3.5.3

Divida cada termo em $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ por $x + 2 y$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Divida cada termo em $y' (x + 2 y) = - 2 x - y$ por $x + 2 y$ .

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x + 2 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (x + 2 y)}{x + 2 y} = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x + 2 y} + \frac{- y}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 x - y}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) - y}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.3.3

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{- (2 x) - (y)}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - (y)$ .

$y' = \frac{- (2 x + y)}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.5.1

Reescreva $- (2 x + y)$ como $- 1 (2 x + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x + y)}{x + 2 y}$

Etapa 3.5.3.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Etapa 3.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x + y}{x + 2 y}$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 x + y}{x + 2 y} = 0$ .

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Etapa 4.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 x + y = 0$

Etapa 4.2

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$2 x = - y$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $2 x = - y$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Etapa 4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{y}{2}$

Etapa 5

Solve the function $f (x) = - \frac{x - \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{y}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Remova os parênteses.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + 1 (\frac{y}{2}))}}{2}$

Etapa 5.2.2.1.2

Multiplique $\frac{y}{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Etapa 5.2.2.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Etapa 5.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Etapa 5.2.2.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Etapa 5.2.2.6

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

Etapa 5.2.2.7

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

Etapa 5.2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{2 \cdot 2 + y}{2}}}{2}$

Etapa 5.2.2.9

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

Etapa 5.2.2.10

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.10.1

Combine $3$ e $\frac{4 - y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (4 - y)}{2} \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

Etapa 5.2.2.10.2

Multiplique $\frac{3 (4 - y)}{2}$ por $\frac{4 + y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{2 \cdot 2}}}{2}$

Etapa 5.2.2.10.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}}}{2}$

Etapa 5.2.2.11

Reescreva $\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.11.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $3 (4 - y) (4 + y)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{4}}}{2}$

Etapa 5.2.2.11.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Etapa 5.2.2.11.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}}{2}$

Etapa 5.2.2.12

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - (\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{2}$

Etapa 5.2.2.13

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} - \frac{\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

Etapa 5.2.2.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

Etapa 5.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 5.2.4

Multiplique $\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.2.4.1

Multiplique $\frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Etapa 5.2.5

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Etapa 5.2.6

Fatore $- 1$ de $- \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - (\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Etapa 5.2.7

Fatore $- 1$ de $- (y) - (\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Etapa 5.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.2.8.1

Reescreva $- (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ como $- 1 (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Etapa 5.2.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Etapa 5.2.8.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4})$

Etapa 5.2.8.4

Multiplique $\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Etapa 5.2.9

A resposta final é $\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ .

$\frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Etapa 6

Solve the function $f (x) = - \frac{x + \sqrt{3 (2 + x) (2 - x)}}{2}$ at $x = - \frac{y}{2}$ .

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{y}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Remova os parênteses.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 - (- \frac{y}{2}))}}{2}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.2.1

Combine expoentes.

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Etapa 6.2.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + 1 (\frac{y}{2}))}}{2}$

Etapa 6.2.2.1.2

Multiplique $\frac{y}{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Etapa 6.2.2.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{y}{2}) (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Etapa 6.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{2 \cdot 2 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 + \frac{y}{2})}}{2}$

Etapa 6.2.2.6

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

Etapa 6.2.2.7

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot (\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{y}{2})}}{2}$

Etapa 6.2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{2 \cdot 2 + y}{2}}}{2}$

Etapa 6.2.2.9

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{3 (\frac{4 - y}{2}) \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

Etapa 6.2.2.10

Combine expoentes.

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Etapa 6.2.2.10.1

Combine $3$ e $\frac{4 - y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (4 - y)}{2} \cdot \frac{4 + y}{2}}}{2}$

Etapa 6.2.2.10.2

Multiplique $\frac{3 (4 - y)}{2}$ por $\frac{4 + y}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{2 \cdot 2}}}{2}$

Etapa 6.2.2.10.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}}}{2}$

Etapa 6.2.2.11

Reescreva $\frac{3 (4 - y) (4 + y)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))$ .

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Etapa 6.2.2.11.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $3 (4 - y) (4 + y)$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{4}}}{2}$

Etapa 6.2.2.11.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}}}{2}$

Etapa 6.2.2.11.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (3 (4 - y) (4 + y))}}{2}$

Etapa 6.2.2.12

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}$

Etapa 6.2.2.13

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- \frac{y}{2} + \frac{\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

Etapa 6.2.2.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}}{2}$

Etapa 6.2.3

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$f (- \frac{y}{2}) = - (\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 6.2.4

Multiplique $\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.2.4.1

Multiplique $\frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{2 \cdot 2}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Etapa 6.2.5

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Etapa 6.2.6

Fatore $- 1$ de $\sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y) - 1 (- \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Etapa 6.2.7

Fatore $- 1$ de $- (y) - 1 (- \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Etapa 6.2.8

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.8.1

Reescreva $- (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ como $- 1 (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})$ .

$f (- \frac{y}{2}) = - \frac{- 1 (y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)})}{4}$

Etapa 6.2.8.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Etapa 6.2.8.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = 1 (\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4})$

Etapa 6.2.8.4

Multiplique $\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{y}{2}) = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Etapa 6.2.9

A resposta final é $\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$ .

$\frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Etapa 7

The horizontal tangent lines are $y = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

$y = \frac{y + \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}, y = \frac{y - \sqrt{3 (4 - y) (4 + y)}}{4}$

Etapa 8