Cálculo Exemplos

$y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$

Etapa 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Etapa 1.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$y = \pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$

Etapa 1.2

Simplifique $\pm \sqrt{x^{3} + 3 x^{2}}$ .

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Etapa 1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3} + 3 x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + 3 x^{2}}$

Etapa 1.2.1.2

Fatore $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} x + x^{2} \cdot 3}$

Etapa 1.2.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot 3$ .

$y = \pm \sqrt{x^{2} (x + 3)}$

Etapa 1.2.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm x \sqrt{x + 3}$

Etapa 1.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = x \sqrt{x + 3}$

Etapa 1.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Etapa 1.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

$y = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3}$

Etapa 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = x \sqrt{x + 3} \to f (x) = x \sqrt{x + 3}$

$y = - x \sqrt{x + 3} \to f (x) = - x \sqrt{x + 3}$

Etapa 3

Because the $y$ variable in the equation $y^{2} = x^{3} + 3 x^{2}$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Etapa 3.1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (x^{3} + 3 x^{2})$

Etapa 3.2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 y y'$

Etapa 3.3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.1

Diferencie.

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Etapa 3.3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Etapa 3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Etapa 3.3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x)$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 6 x$

Etapa 3.4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$

Etapa 3.5

Divida cada termo em $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ por $2 y$ e simplifique.

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Etapa 3.5.1

Divida cada termo em $2 y y' = 3 x^{2} + 6 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Etapa 3.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.5.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Etapa 3.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Etapa 3.5.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 3.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Etapa 3.5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{6 x}{2 y}$

Etapa 3.5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.5.3.1

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

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Etapa 3.5.3.1.1

Fatore $2$ de $6 x$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Etapa 3.5.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.5.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 (y)}$

Etapa 3.5.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{2 (3 x)}{2 y}$

Etapa 3.5.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Etapa 3.6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y}$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ .

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Etapa 4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 y, y, 1$

Etapa 4.1.2

Como $2 y, y, 1$ contém números e variáveis, há duas etapas para encontrar o MMC. Encontre o MMC da parte numérica $2 y, y, 1$ 1) e, depois, o da parte variável $2 y, y, 1$ .

Etapa 4.1.3

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 4.1.4

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 4.1.5

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 4.1.6

O MMC de $2, 1, 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$2$

Etapa 4.1.7

O fator de $y^{1}$ é o próprio $y$ .

$y^{1} = y$

$y$ ocorre $1$ vez.

Etapa 4.1.8

O MMC de $y^{1}, y^{1}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$y$

Etapa 4.1.9

O MMC de $2 y, y, 1$ é a parte numérica $2$ multiplicada pela parte variável.

$2 y$

Etapa 4.2

Multiplique cada termo em $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ por $2 y$ para eliminar as frações.

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Etapa 4.2.1

Multiplique cada termo em $\frac{3 x^{2}}{2 y} + \frac{3 x}{y} = 0$ por $2 y$ .

$\frac{3 x^{2}}{2 y} (2 y) + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$2 \frac{3 x^{2}}{2 (y)} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{3 x^{2}}{2 y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Etapa 4.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Etapa 4.2.2.1.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 4.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{y} y + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Etapa 4.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$3 x^{2} + \frac{3 x}{y} (2 y) = 0 (2 y)$

Etapa 4.2.2.1.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 x^{2} + 2 \frac{3 x}{y} y = 0 (2 y)$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $2 \frac{3 x}{y}$ .

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Etapa 4.2.2.1.5.1

Combine $2$ e $\frac{3 x}{y}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{y} y = 0 (2 y)$

Etapa 4.2.2.1.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Etapa 4.2.2.1.6

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 4.2.2.1.6.1

Cancele o fator comum.

$3 x^{2} + \frac{6 x}{y} y = 0 (2 y)$

Etapa 4.2.2.1.6.2

Reescreva a expressão.

$3 x^{2} + 6 x = 0 (2 y)$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Multiplique $0 (2 y)$ .

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Etapa 4.2.3.1.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0 y$

Etapa 4.2.3.1.2

Multiplique $0$ por $y$ .

$3 x^{2} + 6 x = 0$

Etapa 4.3

Resolva a equação.

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Etapa 4.3.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} + 6 x$ .

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Etapa 4.3.1.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) + 6 x = 0$

Etapa 4.3.1.2

Fatore $3 x$ de $6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (2) = 0$

Etapa 4.3.1.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (2)$ .

$3 x (x + 2) = 0$

Etapa 4.3.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 4.3.3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4.3.4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.3.4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.3.4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 4.3.5

A solução final são todos os valores que tornam $3 x (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2$

Etapa 5

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = 0$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = (0) \sqrt{(0) + 3}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Some $0$ e $3$ .

$f (0) = 0 \sqrt{3}$

Etapa 5.2.2

Multiplique $0$ por $\sqrt{3}$ .

$f (0) = 0$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 6

Solve the function $f (x) = x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = (- 2) \sqrt{(- 2) + 3}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Some $- 2$ e $3$ .

$f (- 2) = - 2 \sqrt{1}$

Etapa 6.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (- 2) = - 2 \cdot 1$

Etapa 6.2.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f (- 2) = - 2$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $- 2$ .

$- 2$

Etapa 7

Solve the function $f (x) = - x \sqrt{x + 3}$ at $x = - 2$ .

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = 2 \sqrt{(- 2) + 3}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Some $- 2$ e $3$ .

$f (- 2) = 2 \sqrt{1}$

Etapa 7.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$f (- 2) = 2 \cdot 1$

Etapa 7.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (- 2) = 2$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 8

The horizontal tangent lines are $y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

$y = 0, y = 0, y = - 2, y = 2$

Etapa 9