Cálculo Exemplos

$f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x^{2} - 8 x + 7$ .

$(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 7] + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 8 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.2.3

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [7]) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.2.6

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.2.7

Some $2 x - 8$ e $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 1.2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Etapa 1.2.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) (1 + 0)$

Etapa 1.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 7) \cdot 1$

Etapa 1.2.11.2

Multiplique $x^{2} - 8 x + 7$ por $1$ .

$(x - 1) (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 7$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(x - 1) (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) - 1 (2 x) + (x - 1) \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x (2 x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Etapa 1.3.4

Combine os termos.

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Etapa 1.3.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Etapa 1.3.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Etapa 1.3.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 x^{1 + 1} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Etapa 1.3.4.4

Some $1$ e $1$ .

$2 x^{2} - 1 (2 x) + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Etapa 1.3.4.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 x + x \cdot - 8 - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Etapa 1.3.4.6

Mova $- 8$ para a esquerda de $x$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 \cdot x - 1 \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Etapa 1.3.4.7

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$2 x^{2} - 2 x - 8 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Etapa 1.3.4.8

Subtraia $8 x$ de $- 2 x$ .

$2 x^{2} - 10 x + 8 + x^{2} - 8 x + 7$

Etapa 1.3.4.9

Some $2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 10 x + 8 - 8 x + 7$

Etapa 1.3.4.10

Subtraia $8 x$ de $- 10 x$ .

$3 x^{2} - 18 x + 8 + 7$

Etapa 1.3.4.11

Some $8$ e $7$ .

$3 x^{2} - 18 x + 15$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 18 x + 15 = 0$ .

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Etapa 2.1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2} - 18 x + 15$ .

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Etapa 2.1.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 15 = 0$

Etapa 2.1.1.2

Fatore $3$ de $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 15 = 0$

Etapa 2.1.1.3

Fatore $3$ de $15$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

Etapa 2.1.1.4

Fatore $3$ de $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5 = 0$

Etapa 2.1.1.5

Fatore $3$ de $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 5$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Etapa 2.1.2

Fatore.

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Etapa 2.1.2.1

Fatore $x^{2} - 6 x + 5$ usando o método AC.

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Etapa 2.1.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $5$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 5, - 1$

Etapa 2.1.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$3 ((x - 5) (x - 1)) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$3 (x - 5) (x - 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina $x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $x - 5$ como igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$x = 5$

Etapa 2.4

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $3 (x - 5) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 5, 1$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ em $x = 5$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = ((5) - 1) ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ de $5$ .

$f (5) = 4 ({(5)}^{2} - 8 \cdot 5 + 7)$

Etapa 3.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = 4 (25 - 8 \cdot 5 + 7)$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $- 8$ por $5$ .

$f (5) = 4 (25 - 40 + 7)$

Etapa 3.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.3.1

Subtraia $40$ de $25$ .

$f (5) = 4 (- 15 + 7)$

Etapa 3.2.3.2

Some $- 15$ e $7$ .

$f (5) = 4 \cdot - 8$

Etapa 3.2.3.3

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f (5) = - 32$

Etapa 3.2.4

A resposta final é $- 32$ .

$- 32$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ em $x = 1$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = ((1) - 1) ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (1) = 0 ({(1)}^{2} - 8 \cdot 1 + 7)$

Etapa 4.2.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 0 (1 - 8 \cdot 1 + 7)$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f (1) = 0 (1 - 8 + 7)$

Etapa 4.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.2.3.1

Subtraia $8$ de $1$ .

$f (1) = 0 (- 7 + 7)$

Etapa 4.2.3.2

Some $- 7$ e $7$ .

$f (1) = 0 \cdot 0$

Etapa 4.2.3.3

Multiplique $0$ por $0$ .

$f (1) = 0$

Etapa 4.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 5

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = (x - 1) (x^{2} - 8 x + 7)$ são $y = - 32, y = 0$ .

$y = - 32, y = 0$

Etapa 6