Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \cos (x) + 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 1.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.2.1

Reordene $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Etapa 1.4.2.2

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 1.4.2.3

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $2 \cos (x)$ de $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 2.4.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 2.4.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 2.4.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.4.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.4.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 2.4.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.4.2.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.4.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.4.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.4.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.4.2.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.4.2.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.5

Defina $\sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $\sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $\sin (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) = - 1$

Etapa 2.5.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 2.5.2.4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 2.5.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 2.5.2.5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 2.5.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.5.2.6

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 2.5.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.5.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.5.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.5.2.7

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 2.5.2.7.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 2.5.2.7.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.5.2.7.3

Combine frações.

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Etapa 2.5.2.7.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 2.5.2.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 2.5.2.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.5.2.7.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 2.5.2.7.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 2.5.2.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 2.5.2.8

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.7

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ em $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 3.2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1^{2}$

Etapa 3.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 1$

Etapa 3.2.2

Some $2$ e $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 3$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $3$ .

$3$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ em $x = \frac{π}{2} + π$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2} + π$ na expressão.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Etapa 4.2.1.2

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Etapa 4.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + π \cdot 2}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Etapa 4.2.1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{π + 2 \cdot π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Etapa 4.2.1.4.2

Some $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \sin (\frac{3 π}{2}) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Etapa 4.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- \sin (\frac{π}{2})) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Etapa 4.2.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 (- 1 \cdot 1) + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Etapa 4.2.1.7

Multiplique $2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 4.2.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = 2 \cdot - 1 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Etapa 4.2.1.7.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π)$

Etapa 4.2.1.8

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + π \cdot \frac{2}{2})$

Etapa 4.2.1.9

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π}{2} + \frac{π \cdot 2}{2})$

Etapa 4.2.1.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + π \cdot 2}{2})$

Etapa 4.2.1.11

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1.11.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{π + 2 \cdot π}{2})$

Etapa 4.2.1.11.2

Some $π$ e $2 π$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 4.2.1.12

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

Etapa 4.2.1.13

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Etapa 4.2.1.14

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + {(- 1)}^{2}$

Etapa 4.2.1.15

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 2 + 1$

Etapa 4.2.2

Some $- 2$ e $1$ .

$f (\frac{π}{2} + π) = - 1$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 1$ .

$- 1$

Etapa 5

A reta tangente horizontal na função $f (x) = 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)$ é $y = 3, y = - 1$ .

$y = 3, y = - 1$

Etapa 6