Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [2 ((x - 1) (x - 1))]$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 (x (x - 1) - 1 (x - 1))]$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))]$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 1.3.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)]$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - x - x + 1)]$

Etapa 1.3.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$\frac{d}{d x} [2 (x^{2} - 2 x + 1)]$

Etapa 1.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 (x^{2} - 2 x + 1)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]$

Etapa 1.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.7

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.9

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.10

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (2 x - 2 + 0)$

Etapa 1.11

Some $2 x - 2$ e $0$ .

$2 (2 x - 2)$

Etapa 1.12

Simplifique.

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Etapa 1.12.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 x) + 2 \cdot - 2$

Etapa 1.12.2

Combine os termos.

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Etapa 1.12.2.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + 2 \cdot - 2$

Etapa 1.12.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$4 x - 4$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x - 4 = 0$ .

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Etapa 2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$4 x = 4$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $4 x = 4$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 4$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{4}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Divida $4$ por $4$ .

$x = 1$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ em $x = 1$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 2 {((1) - 1)}^{2}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$f (1) = 2 \cdot 0^{2}$

Etapa 3.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (1) = 2 \cdot 0$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (1) = 0$

Etapa 3.2.4

A resposta final é $0$ .

$0$

Etapa 4

A reta tangente horizontal na função $f (x) = 2 {(x - 1)}^{2}$ é $y = 0$ .

$y = 0$

Etapa 5