Cálculo Exemplos

$f (x) = x e^{- x}$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x$ .

$x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1$

Etapa 1.3.5

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$x (- e^{- x}) + e^{- x}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reordene os termos.

$- e^{- x} x + e^{- x}$

Etapa 1.4.2

Reordene os fatores em $- e^{- x} x + e^{- x}$ .

$- x e^{- x} + e^{- x}$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- x e^{- x} + e^{- x} = 0$ .

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Etapa 2.1

Fatore $e^{- x}$ de $- x e^{- x} + e^{- x}$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $e^{- x}$ de $- x e^{- x}$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} = 0$

Etapa 2.1.2

Multiplique por $1$ .

$e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1 = 0$

Etapa 2.1.3

Fatore $e^{- x}$ de $e^{- x} (- x) + e^{- x} \cdot 1$ .

$e^{- x} (- x + 1) = 0$

Etapa 2.2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

$- x + 1 = 0$

Etapa 2.3

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Defina $e^{- x}$ como igual a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Etapa 2.3.2

Resolva $e^{- x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Etapa 2.3.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.3.2.3

Não há uma solução para $e^{- x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.4

Defina $- x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $- x + 1$ como igual a $0$ .

$- x + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $- x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 2.5

A solução final são todos os valores que tornam $e^{- x} (- x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 1$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = x e^{- x}$ em $x = 1$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = (1) \cdot e^{- (1)}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $e^{- (1)}$ por $1$ .

$f (1) = e^{- (1)}$

Etapa 3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Etapa 3.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Etapa 3.2.4

A resposta final é $\frac{1}{e}$ .

$\frac{1}{e}$

Etapa 4

A reta tangente horizontal na função $f (x) = x e^{- x}$ é $y = \frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Etapa 5