Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{2} + 9$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 9) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $x^{2} + 9$ por $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 9]}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + \frac{d}{d x} [9])}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\frac{x^{2} + 9 - x (2 x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 9 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 1.7

Subtraia $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{- x^{2} + 9}{{(x^{2} + 9)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina o numerador como igual a zero.

$- x^{2} + 9 = 0$

Etapa 2.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.2.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 9$

Etapa 2.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 9$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 9$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

Etapa 2.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.2.3.1

Divida $- 9$ por $- 1$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 2.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 2.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 2.2.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 2.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 2.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 2.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ em $x = 3$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = \frac{3}{{(3)}^{2} + 9}$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (3) = \frac{3}{9 + 9}$

Etapa 3.2.1.2

Some $9$ e $9$ .

$f (3) = \frac{3}{18}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $3$ e $18$ .

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Etapa 3.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (3) = \frac{3 (1)}{18}$

Etapa 3.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.2.2.1

Fatore $3$ de $18$ .

$f (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

Etapa 3.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 6}$

Etapa 3.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (3) = \frac{1}{6}$

Etapa 3.2.3

A resposta final é $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6}$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ em $x = - 3$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 3$ na expressão.

$f (- 3) = \frac{- 3}{{(- 3)}^{2} + 9}$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 3}{9 + 9}$

Etapa 4.2.1.2

Some $9$ e $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 3}{18}$

Etapa 4.2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ e $18$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Fatore $3$ de $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{3 (- 1)}{18}$

Etapa 4.2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.2.1.2.1

Fatore $3$ de $18$ .

$f (- 3) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

Etapa 4.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- 3) = \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 6}$

Etapa 4.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- 3) = \frac{- 1}{6}$

Etapa 4.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 3) = - \frac{1}{6}$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{6}$ .

$- \frac{1}{6}$

Etapa 5

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 9}$ são $y = \frac{1}{6}, y = - \frac{1}{6}$ .

$y = \frac{1}{6}, y = - \frac{1}{6}$

Etapa 6