Cálculo Exemplos

$y = 5 x - x^{2}$

Etapa 1

Reordene $5 x$ e $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 5 x$

Etapa 2

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = - x^{2} + 5 x$

Etapa 3

Encontre a derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 x + 5 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$- 2 x + 5$

Etapa 4

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x + 5 = 0$ .

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Etapa 4.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 2 x = - 5$

Etapa 4.2

Divida cada termo em $- 2 x = - 5$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 4.2.1

Divida cada termo em $- 2 x = - 5$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 2}$

Etapa 4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 5

Resolva a função original $f (x) = - x^{2} + 5 x$ em $x = \frac{5}{2}$ .

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5}{2}$ na expressão.

$f (\frac{5}{2}) = - {(\frac{5}{2})}^{2} + 5 (\frac{5}{2})$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{5^{2}}{2^{2}} + 5 (\frac{5}{2})$

Etapa 5.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{2^{2}} + 5 (\frac{5}{2})$

Etapa 5.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + 5 (\frac{5}{2})$

Etapa 5.2.1.4

Multiplique $5 (\frac{5}{2})$ .

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Etapa 5.2.1.4.1

Combine $5$ e $\frac{5}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{5 \cdot 5}{2}$

Etapa 5.2.1.4.2

Multiplique $5$ por $5$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25}{2}$

Etapa 5.2.2

Para escrever $\frac{25}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 5.2.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.2.3.1

Multiplique $\frac{25}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.2.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = - \frac{25}{4} + \frac{25 \cdot 2}{4}$

Etapa 5.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 25 \cdot 2}{4}$

Etapa 5.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.5.1

Multiplique $25$ por $2$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{- 25 + 50}{4}$

Etapa 5.2.5.2

Some $- 25$ e $50$ .

$f (\frac{5}{2}) = \frac{25}{4}$

Etapa 5.2.6

A resposta final é $\frac{25}{4}$ .

$\frac{25}{4}$

Etapa 6

A reta tangente horizontal na função $f (x) = - x^{2} + 5 x$ é $y = \frac{25}{4}$ .

$y = \frac{25}{4}$

Etapa 7