Cálculo Exemplos

$y = \frac{x - 1}{x + 1}$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x - 1$ e $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.8

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.2.8.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.2.8.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3

Simplifique.

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Etapa 2.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.2.1

Combine os termos opostos em $x + 1 - x - - 1$ .

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Etapa 2.3.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.1.2

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2.3.2.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 3.2

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 4

Não foi encontrada uma solução ao definir a derivada igual a $0$ , $\frac{2}{{(x + 1)}^{2}} = 0$ , então não há linhas tangentes horizontais.

Nenhuma reta tangente horizontal encontrada

Etapa 5