Cálculo Exemplos

$y = x^{4} + 2 x^{2} - x$

Etapa 1

Defina $y$ como uma função de $x$ .

$f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$

Etapa 2

Encontre a derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 2 x^{2} - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x + \frac{d}{d x} [- x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} + 4 x - \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 x^{3} + 4 x - 1$

Etapa 3

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx 0.2367329$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$ em $x = 0.2367329$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $0.2367329$ na expressão.

$f (0.2367329) = {(0.2367329)}^{4} + 2 {(0.2367329)}^{2} - (0.2367329)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $0.2367329$ à potência de $4$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 2 {(0.2367329)}^{2} - (0.2367329)$

Etapa 4.2.1.2

Eleve $0.2367329$ à potência de $2$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 2 \cdot 0.05604246 - (0.2367329)$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $2$ por $0.05604246$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 0.11208493 - (0.2367329)$

Etapa 4.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0.2367329$ .

$f (0.2367329) = 0.00314075 + 0.11208493 - 0.2367329$

Etapa 4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 4.2.2.1

Some $0.00314075$ e $0.11208493$ .

$f (0.2367329) = 0.11522569 - 0.2367329$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $0.2367329$ de $0.11522569$ .

$f (0.2367329) = - 0.12150721$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $- 0.12150721$ .

$- 0.12150721$

Etapa 5

A reta tangente horizontal na função $f (x) = x^{4} + 2 x^{2} - x$ é $y = - 0.12150721$ .

$y = - 0.12150721$

Etapa 6