Cálculo Exemplos

$\sin (2 x) - 2 \sin (x)$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (2 x) - 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 1.2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 1.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 1.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 \cos (2 x) - 2 \cos (x)$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 \cos (2 x) - 2 \cos (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) - 2 \cos (x) = 0$

Etapa 2.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

Etapa 2.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \cos^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 2 \cos (x) = 0$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Etapa 2.2

Fatore $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $2$ de $4 \cos^{2} (x) - 2 - 2 \cos (x)$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $2$ de $4 \cos^{2} (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) - 2 - 2 \cos (x) = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) - 2 \cos (x) = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $2$ de $- 2 \cos (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $2$ de $2 (2 \cos^{2} (x)) + 2 (- 1)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x)) = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $2$ de $2 (2 \cos^{2} (x) - 1) + 2 (- \cos (x))$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x)) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.2.2.1.1

Reordene os termos.

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 2.2.2.1.2.1

Fatore $- 1$ de $- \cos (x)$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$2 (2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.1.2.4

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.2.1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 (2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1) = 0$

Etapa 2.2.2.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 (\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 \cos (x) + 1$ .

$2 ((2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Etapa 2.4

Defina $2 \cos (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $2 \cos (x) + 1$ como igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Etapa 2.4.2

Resolva $2 \cos (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \cos (x) = - 1$

Etapa 2.4.2.2

Divida cada termo em $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.4.2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.4.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Etapa 2.4.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.4.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{1}{2})$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.4.2.5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.4.2.6

Simplifique $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 2.4.2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.4.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 2.4.2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.4.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 2.4.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.4.2.6.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 2.4.2.6.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 2.4.2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.4.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.4.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.4.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.4.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.4.2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.5

Defina $\cos (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $\cos (x) - 1$ como igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $\cos (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\cos (x) = 1$

Etapa 2.5.2.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (1)$

Etapa 2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.3.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5.2.4

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 2.5.2.5

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 2.5.2.6

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.5.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.5.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.5.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.5.2.6.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.5.2.7

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 (2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 2.7

Consolide as respostas.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ em $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 3.1

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (2 (\frac{2 π}{3})) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Multiplique $2 (\frac{2 π}{3})$ .

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Etapa 3.2.1.1.1

Combine $2$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{2 (2 π)}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 3.2.1.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \sin (\frac{4 π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 3.2.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \sin (\frac{π}{3}) - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 3.2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 3.2.1.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 3.2.1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.2.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.6.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 (- 1) (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 3.2.1.6.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 3.2.1.6.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - 1 \sqrt{3}$

Etapa 3.2.1.7

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}$

Etapa 3.2.2

Para escrever $- \sqrt{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.2.3

Combine frações.

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Etapa 3.2.3.1

Combine $- \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2}{2}$

Etapa 3.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.2.4.2

Subtraia $2 \sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{2 π}{3}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.2.6

A resposta final é $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 4

A reta tangente horizontal na função $f (x) = \sin (2 x) - 2 \sin (x)$ é $y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = x = \frac{2 π n}{3}, y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Forma decimal:

$y = x = \frac{2 π n}{3}, - 2.59807621 \dots$

Etapa 6