Cálculo Exemplos

$f (x) = x + 2 \sin (x)$

Etapa 1

Encontre a derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$1 + 2 \cos (x)$

Etapa 2

Defina a derivada como igual a $0$ e resolva a equação $1 + 2 \cos (x) = 0$ .

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Etapa 2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 \cos (x) = - 1$

Etapa 2.2

Divida cada termo em $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1

Divida cada termo em $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.2.2.1.2

Divida $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Etapa 2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{1}{2})$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.5

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.6

Simplifique $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 2.6.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.6.2

Combine frações.

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Etapa 2.6.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 2.6.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 2.7

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 2.8

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 3

Resolva a função original $f (x) = x + 2 \sin (x)$ em $x = \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = (\frac{2 π}{3}) + 2 \sin (\frac{2 π}{3})$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 3.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 3.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + 2 (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 3.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 3.2.2

A resposta final é $\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$ .

$\frac{2 π}{3} + \sqrt{3}$

Etapa 4

Resolva a função original $f (x) = x + 2 \sin (x)$ em $x = \frac{4 π}{3}$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{4 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{4 π}{3}) = (\frac{4 π}{3}) + 2 \sin (\frac{4 π}{3})$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 4.2.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} + 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2})$

Etapa 4.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{4 π}{3}) = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ .

$\frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 5

As retas tangentes horizontais na função $f (x) = x + 2 \sin (x)$ são $y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}, y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$ .

$y = \frac{2 π}{3} + \sqrt{3}, y = \frac{4 π}{3} - \sqrt{3}$

Etapa 6