Cálculo Exemplos

$y = x + \sin (x y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x + \sin (x y))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \sin (x y)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x y)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (x y)]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x y$ .

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Etapa 3.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x y$ .

$1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x y$ .

$1 + \cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$1 + \cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Etapa 3.2.5

Multiplique $y$ por $1$ .

$1 + \cos (x y) (x y' + y)$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 + \cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Etapa 3.3.2

Reordene os termos.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $x \cos (x y) y' + y \cos (x y) + 1$ .

$y' = x y' \cos (x y) + y \cos (x y) + 1$

Etapa 5.2

Subtraia $x y' \cos (x y)$ dos dois lados da equação.

$y' - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $y' - x y' \cos (x y)$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \cos (x y) = y \cos (x y) + 1$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- x y' \cos (x y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- x \cos (x y))$ .

$y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ por $1 - x \cos (x y)$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (1 - x \cos (x y)) = y \cos (x y) + 1$ por $1 - x \cos (x y)$ .

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $1 - x \cos (x y)$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (1 - x \cos (x y))}{1 - x \cos (x y)} = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{y \cos (x y)}{1 - x \cos (x y)} + \frac{1}{1 - x \cos (x y)}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cos (x y) + 1}{1 - x \cos (x y)}$

Etapa 7

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 7.1

Defina o numerador como igual a zero.

$y \cos (x y) + 1 = 0$

Etapa 7.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y \cos (x y) = - 1$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $y \cos (x y) = - 1$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $y \cos (x y) = - 1$ por $y$ .

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y \cos (x y)}{y} = \frac{- 1}{y}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $\cos (x y)$ por $1$ .

$\cos (x y) = \frac{- 1}{y}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (x y) = - \frac{1}{y}$

Etapa 7.2.3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x y = \arccos (- \frac{1}{y})$

Etapa 7.2.4

Divida cada termo em $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ por $y$ e simplifique.

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Etapa 7.2.4.1

Divida cada termo em $x y = \arccos (- \frac{1}{y})$ por $y$ .

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Etapa 7.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.4.2.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 7.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y}{y} = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Etapa 7.2.4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique $(\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) + \sin ((\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y}) y)$ .

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Etapa 8.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1.1

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 8.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} y)$

Etapa 8.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$

Etapa 8.1.1.2

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ , $(- \frac{1}{y}, 0)$ e a origem. Então, $\arccos (- \frac{1}{y})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(- \frac{1}{y}, \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}})$ . Portanto, $\sin (\arccos (- \frac{1}{y}))$ é $\sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1 - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Etapa 8.1.1.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{1^{2} - {(- \frac{1}{y})}^{2}}$

Etapa 8.1.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = - \frac{1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 - - \frac{1}{y})}$

Etapa 8.1.1.5

Multiplique $- - \frac{1}{y}$ .

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Etapa 8.1.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + 1 \frac{1}{y})}$

Etapa 8.1.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $1$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(1 - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Etapa 8.1.1.6

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{(\frac{y}{y} - \frac{1}{y}) (1 + \frac{1}{y})}$

Etapa 8.1.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (1 + \frac{1}{y})}$

Etapa 8.1.1.8

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} (\frac{y}{y} + \frac{1}{y})}$

Etapa 8.1.1.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{y - 1}{y} \cdot \frac{y + 1}{y}}$

Etapa 8.1.1.10

Multiplique $\frac{y - 1}{y}$ por $\frac{y + 1}{y}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y \cdot y}}$

Etapa 8.1.1.11

Multiplique $y$ por $y$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}}$

Etapa 8.1.1.12

Reescreva $\frac{(y - 1) (y + 1)}{y^{2}}$ como ${(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))$ .

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Etapa 8.1.1.12.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(y - 1) (y + 1)$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2}}}$

Etapa 8.1.1.12.2

Fatore a potência perfeita $y^{2}$ de $y^{2}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}}$

Etapa 8.1.1.12.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((y - 1) (y + 1))}{y^{2} \cdot 1}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \sqrt{{(\frac{1}{y})}^{2} ((y - 1) (y + 1))}$

Etapa 8.1.1.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{1}{y} \sqrt{(y - 1) (y + 1)}$

Etapa 8.1.1.14

Combine $\frac{1}{y}$ e $\sqrt{(y - 1) (y + 1)}$ .

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y})}{y} + \frac{\sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Etapa 8.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{\arccos (- \frac{1}{y}) + \sqrt{(y - 1) (y + 1)}}{y}$

Etapa 8.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$y \approx 1.94368519$

Etapa 9

Solve for $x$ when $y$ is $1.94368519$ .

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Etapa 9.1

Remova os parênteses.

$x = \frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$

Etapa 9.2

Simplifique $\frac{\arccos (- \frac{1}{1.94368519})}{1.94368519}$ .

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Etapa 9.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.1.1

Divida $1$ por $1.94368519$ .

$x = \frac{\arccos (- 1 \cdot 0.5144866)}{1.94368519}$

Etapa 9.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $0.5144866$ .

$x = \frac{\arccos (- 0.5144866)}{1.94368519}$

Etapa 9.2.1.3

Avalie $\arccos (- 0.5144866)$ .

$x = \frac{2.11120515}{1.94368519}$

Etapa 9.2.2

Divida $2.11120515$ por $1.94368519$ .

$x = 1.08618677$

Etapa 10

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(1.08618677, 1.94368519)$

Etapa 11