Cálculo Exemplos

$x^{2} + x y = 10$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + x y) = \frac{d}{d x} (10)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [x y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + x y' + y \cdot 1$

Etapa 2.2.4

Multiplique $y$ por $1$ .

$2 x + x y' + y$

Etapa 2.3

Reordene os termos.

$x y' + 2 x + y$

Etapa 3

Como $10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x y' + 2 x + y = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$x y' + y = - 2 x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $y$ dos dois lados da equação.

$x y' = - 2 x - y$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $x y' = - 2 x - y$ por $x$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $x y' = - 2 x - y$ por $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 5.2.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{- 2 x}{x} + \frac{- y}{x}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Divida $- 2$ por $1$ .

$y' = - 2 + \frac{- y}{x}$

Etapa 5.2.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - 2 - \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 2 - \frac{y}{x}$

Etapa 7

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 7.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$- \frac{y}{x} = 2$

Etapa 7.2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 7.2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x, 1$

Etapa 7.2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x$

Etapa 7.3

Multiplique cada termo em $- \frac{y}{x} = 2$ por $x$ para eliminar as frações.

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Etapa 7.3.1

Multiplique cada termo em $- \frac{y}{x} = 2$ por $x$ .

$- \frac{y}{x} x = 2 x$

Etapa 7.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.3.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y}{x}$ para o numerador.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

Etapa 7.3.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- y}{x} x = 2 x$

Etapa 7.3.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- y = 2 x$

Etapa 7.4

Resolva a equação.

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Etapa 7.4.1

Reescreva a equação como $2 x = - y$ .

$2 x = - y$

Etapa 7.4.2

Divida cada termo em $2 x = - y$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 7.4.2.1

Divida cada termo em $2 x = - y$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Etapa 7.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y}{2}$

Etapa 7.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- y}{2}$

Etapa 7.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.4.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{y}{2}$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique ${(- \frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y$ .

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Etapa 8.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 8.1.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{y}{2})}^{2} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Etapa 8.1.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Etapa 8.1.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$1 \frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Etapa 8.1.1.3

Multiplique $\frac{y^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{y^{2}}{2^{2}} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Etapa 8.1.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} + (- \frac{y}{2}) y = 10$

Etapa 8.1.1.5

Multiplique $(- \frac{y}{2}) y$ .

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Etapa 8.1.1.5.1

Combine $y$ e $\frac{y}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y \cdot y}{2} = 10$

Etapa 8.1.1.5.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y}{2} = 10$

Etapa 8.1.1.5.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1} y^{1}}{2} = 10$

Etapa 8.1.1.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{1 + 1}}{2} = 10$

Etapa 8.1.1.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} = 10$

Etapa 8.1.2

Para escrever $- \frac{y^{2}}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} = 10$

Etapa 8.1.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 8.1.3.1

Multiplique $\frac{y^{2}}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} = 10$

Etapa 8.1.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Etapa 8.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{y^{2} - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Etapa 8.1.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.5.1

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} - y^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 8.1.5.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 - y^{2} \cdot 2}{4} = 10$

Etapa 8.1.5.1.2

Fatore $y^{2}$ de $- y^{2} \cdot 2$ .

$\frac{y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)}{4} = 10$

Etapa 8.1.5.1.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \cdot 1 + y^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{y^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{4} = 10$

Etapa 8.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{y^{2} (1 - 2)}{4} = 10$

Etapa 8.1.5.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{y^{2} \cdot - 1}{4} = 10$

Etapa 8.1.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1.6.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot y^{2}}{4} = 10$

Etapa 8.1.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{y^{2}}{4} = 10$

Etapa 8.2

Multiplique os dois lados da equação por $- 4$ .

$- 4 (- \frac{y^{2}}{4}) = - 4 \cdot 10$

Etapa 8.3

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 8.3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.3.1.1

Simplifique $- 4 (- \frac{y^{2}}{4})$ .

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Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 8.3.1.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{y^{2}}{4}$ para o numerador.

$- 4 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Etapa 8.3.1.1.1.2

Fatore $4$ de $- 4$ .

$4 (- 1) \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Etapa 8.3.1.1.1.3

Cancele o fator comum.

$4 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{4} = - 4 \cdot 10$

Etapa 8.3.1.1.1.4

Reescreva a expressão.

$- - y^{2} = - 4 \cdot 10$

Etapa 8.3.1.1.2

Multiplique.

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Etapa 8.3.1.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 y^{2} = - 4 \cdot 10$

Etapa 8.3.1.1.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = - 4 \cdot 10$

Etapa 8.3.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Multiplique $- 4$ por $10$ .

$y^{2} = - 40$

Etapa 8.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 40}$

Etapa 8.5

Simplifique $\pm \sqrt{- 40}$ .

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Etapa 8.5.1

Reescreva $- 40$ como $- 1 (40)$ .

$y = \pm \sqrt{- 1 (40)}$

Etapa 8.5.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (40)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$ .

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{40}$

Etapa 8.5.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{40}$

Etapa 8.5.4

Reescreva $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.5.4.1

Fatore $4$ de $40$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{4 (10)}$

Etapa 8.5.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 10}$

Etapa 8.5.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$y = \pm i \cdot (2 \sqrt{10})$

Etapa 8.5.6

Mova $2$ para a esquerda de $i$ .

$y = \pm 2 i \sqrt{10}$

Etapa 8.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = 2 i \sqrt{10}$

Etapa 8.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - 2 i \sqrt{10}$

Etapa 8.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = 2 i \sqrt{10}, - 2 i \sqrt{10}$

Etapa 9

Solve for $x$ when $y$ is $2 i \sqrt{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Remova os parênteses.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{2 i \sqrt{10}}{2}$

Etapa 9.2.2

Divida $i \sqrt{10}$ por $1$ .

$x = - (i \sqrt{10})$

$x = - i \sqrt{10}$

Etapa 10

Simplifique $- \frac{- 2 i \sqrt{10}}{2}$ .

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Etapa 10.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.1

Fatore $2$ de $- 2 i \sqrt{10}$ .

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2}$

Etapa 10.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 (1)}$

Etapa 10.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{2 (- i \sqrt{10})}{2 \cdot 1}$

Etapa 10.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{- i \sqrt{10}}{1}$

Etapa 10.1.2.4

Divida $- i \sqrt{10}$ por $1$ .

$x = - (- i \sqrt{10})$

Etapa 10.2

Multiplique $- (- i \sqrt{10})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (i \sqrt{10})$

Etapa 10.2.2

Multiplique $\sqrt{10}$ por $1$ .

$x = \sqrt{10} i$

Etapa 11

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(- i \sqrt{10}, 2 i \sqrt{10})$

$(\sqrt{10} i, - 2 i \sqrt{10})$

Etapa 12