Cálculo Exemplos

$x^{6} = \cot (y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{6}) = \frac{d}{d x} (\cot (y))$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cot (x)$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\cot (u)$ em relação a $u$ é $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$6 x^{5} = - \csc^{2} (y) y'$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação como $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ .

$- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ por $- \csc^{2} (y)$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- \csc^{2} (y) y' = 6 x^{5}$ por $- \csc^{2} (y)$ .

$\frac{- \csc^{2} (y) y'}{- \csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $\csc^{2} (y)$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\csc^{2} (y) y'}{\csc^{2} (y)} = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{6 x^{5}}{- \csc^{2} (y)}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6 x^{5}}{\csc^{2} (y)}$

Etapa 7

Defina $\frac{d y}{d x} = 0$ e resolva $x$ em termos de $y$ .

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Etapa 7.1

Defina o numerador como igual a zero.

$6 x^{5} = 0$

Etapa 7.2

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Divida cada termo em $6 x^{5} = 0$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 7.2.1.1

Divida cada termo em $6 x^{5} = 0$ por $6$ .

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 7.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 7.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x^{5}}{6} = \frac{0}{6}$

Etapa 7.2.1.2.1.2

Divida $x^{5}$ por $1$ .

$x^{5} = \frac{0}{6}$

Etapa 7.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1.3.1

Divida $0$ por $6$ .

$x^{5} = 0$

Etapa 7.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Etapa 7.2.3

Simplifique $\sqrt[5]{0}$ .

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Etapa 7.2.3.1

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Etapa 7.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Reescreva a equação como $\cot (y) = 0^{6}$ .

$\cot (y) = 0^{6}$

Etapa 8.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\cot (y) = 0$

Etapa 8.3

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $y$ de dentro da cotangente.

$y = arccot (0)$

Etapa 8.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.4.1

O valor exato de $arccot (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$y = \frac{π}{2}$

Etapa 8.5

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$y = π + \frac{π}{2}$

Etapa 8.6

Simplifique $π + \frac{π}{2}$ .

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Etapa 8.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$y = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 8.6.2

Combine frações.

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Etapa 8.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 8.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 8.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.6.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$y = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Etapa 8.6.3.2

Some $2 π$ e $π$ .

$y = \frac{3 π}{2}$

Etapa 8.7

Encontre o período de $\cot (y)$ .

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Etapa 8.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 8.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 8.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 8.7.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 8.8

O período da função $\cot (y)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$y = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.9

Consolide as respostas.

$y = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, \frac{π}{2} + π n)$

Etapa 10