Cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{2} + 1 = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} + 1) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 2 y y' + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Some $2 x + 2 y y'$ e $0$ .

$2 x + 2 y y'$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$2 y y' + 2 x$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' + 2 x = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 y y' = - 2 x$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 y y' = - 2 x$ por $2 y$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 y y' = - 2 x$ por $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2 y$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 y}$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- x}{y}$

Etapa 5.2.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x}{y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x}{y}$

Etapa 7

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Etapa 8

Resolva $y$ .

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Etapa 8.1

Simplifique $0^{2} + y^{2} + 1$ .

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Etapa 8.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + y^{2} + 1 = 0$

Etapa 8.1.2

Some $0$ e $y^{2}$ .

$y^{2} + 1 = 0$

Etapa 8.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$y^{2} = - 1$

Etapa 8.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 8.4

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$y = \pm i$

Etapa 8.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 8.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = i$

Etapa 8.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - i$

Etapa 8.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = i, - i$

Etapa 9

Encontre os pontos em que $\frac{d y}{d x} = 0$ .

$(0, i)$

$(0, - i)$

Etapa 10