Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 5$ , $[- 3, 5]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 6 x^{2} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [5]$

Etapa 1.1.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 0$

Etapa 1.1.1.3.2

Some $3 x^{2} - 12 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 12 x$ .

$3 x^{2} - 12 x$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 12 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 12 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $3 x$ de $3 x^{2} - 12 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $3 x$ de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 12 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $3 x$ de $- 12 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 4) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $3 x$ de $3 x (x) + 3 x (- 4)$ .

$3 x (x - 4) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $3 x (x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 4$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{3} - 6 x^{2} + 5$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 1.4.1

Avalie em $x = 0$ .

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Etapa 1.4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 5$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

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Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 6 {(0)}^{2} + 5$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 6 \cdot 0 + 5$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $0$ .

$0 + 0 + 5$

Etapa 1.4.1.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 5$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Some $0$ e $5$ .

$5$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $4$ por $x$ .

${(4)}^{3} - 6 {(4)}^{2} + 5$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$64 - 6 {(4)}^{2} + 5$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$64 - 6 \cdot 16 + 5$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $16$ .

$64 - 96 + 5$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Subtraia $96$ de $64$ .

$- 32 + 5$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Some $- 32$ e $5$ .

$- 27$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(0, 5), (4, - 27)$

Etapa 2

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie em $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

${(- 3)}^{3} - 6 {(- 3)}^{2} + 5$

Etapa 2.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$- 27 - 6 {(- 3)}^{2} + 5$

Etapa 2.1.2.1.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$- 27 - 6 \cdot 9 + 5$

Etapa 2.1.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $9$ .

$- 27 - 54 + 5$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 2.1.2.2.1

Subtraia $54$ de $- 27$ .

$- 81 + 5$

Etapa 2.1.2.2.2

Some $- 81$ e $5$ .

$- 76$

Etapa 2.2

Avalie em $x = 5$ .

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Etapa 2.2.1

Substitua $5$ por $x$ .

${(5)}^{3} - 6 {(5)}^{2} + 5$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$125 - 6 {(5)}^{2} + 5$

Etapa 2.2.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$125 - 6 \cdot 25 + 5$

Etapa 2.2.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $25$ .

$125 - 150 + 5$

Etapa 2.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Subtraia $150$ de $125$ .

$- 25 + 5$

Etapa 2.2.2.2.2

Some $- 25$ e $5$ .

$- 20$

Etapa 2.3

Liste todos os pontos.

$(- 3, - 76), (5, - 20)$

Etapa 3

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(0, 5)$

Mínimo absoluto: $(- 3, - 76)$

Etapa 4