Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ , $[- 2, 0]$

Etapa 1

Encontre os pontos críticos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 + 0$

Etapa 1.1.1.4.2

Some $3 x^{2} - 2 x - 8$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 2 x - 8$

Etapa 1.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 2 x - 8$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8$

Etapa 1.2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ e cuja soma é $b = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Fatore $- 2$ de $- 2 x$ .

$3 x^{2} - 2 x - 8 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Reescreva $- 2$ como $4$ mais $- 6$

$3 x^{2} + (4 - 6) x - 8 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8 = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8 = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $3 x + 4$ .

$(3 x + 4) (x - 2) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $3 x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $3 x + 4$ como igual a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Resolva $3 x + 4 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$3 x = - 4$

Etapa 1.2.4.2.2

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = - 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 1.2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Etapa 1.2.4.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Etapa 1.2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{4}{3}$

Etapa 1.2.5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $(3 x + 4) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Etapa 1.3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 1.4

Avalie $x^{3} - x^{2} - 8 x + 4$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Avalie em $x = - \frac{4}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.1

Substitua $- \frac{4}{3}$ por $x$ .

${(- \frac{4}{3})}^{3} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{4}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{4^{3}}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{4^{3}}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$- \frac{64}{3^{3}} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.4

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$- \frac{64}{27} - {(- \frac{4}{3})}^{2} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.5

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.5.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - ({(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2}) - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.5.2

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - ({(- 1)}^{2} \frac{4^{2}}{3^{2}}) - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.6

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.6.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.6.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.6.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.6.3

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{64}{27} + {(- 1)}^{3} \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.7

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{4^{2}}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.8

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{3^{2}} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.9

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} - 8 (- \frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.10

Multiplique $- 8 (- \frac{4}{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 8$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + 8 (\frac{4}{3}) + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.10.2

Combine $8$ e $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + \frac{8 \cdot 4}{3} + 4$

Etapa 1.4.1.2.1.10.3

Multiplique $8$ por $4$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16}{9} + \frac{32}{3} + 4$

Etapa 1.4.1.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.2.1

Multiplique $\frac{16}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - (\frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{3} + 4$

Etapa 1.4.1.2.2.2

Multiplique $\frac{16}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{3} + 4$

Etapa 1.4.1.2.2.3

Multiplique $\frac{32}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9} + 4$

Etapa 1.4.1.2.2.4

Multiplique $\frac{32}{3}$ por $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 4$

Etapa 1.4.1.2.2.5

Escreva $4$ como uma fração com denominador $1$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4}{1}$

Etapa 1.4.1.2.2.6

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 1.4.1.2.2.7

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.1.2.2.8

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.1.2.2.9

Multiplique $3$ por $9$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.1.2.2.10

Multiplique $3$ por $9$ .

$- \frac{64}{27} - \frac{16 \cdot 3}{27} + \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 64 - 16 \cdot 3 + 32 \cdot 9 + 4 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.1.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.4.1

Multiplique $- 16$ por $3$ .

$\frac{- 64 - 48 + 32 \cdot 9 + 4 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.1.2.4.2

Multiplique $32$ por $9$ .

$\frac{- 64 - 48 + 288 + 4 \cdot 27}{27}$

Etapa 1.4.1.2.4.3

Multiplique $4$ por $27$ .

$\frac{- 64 - 48 + 288 + 108}{27}$

Etapa 1.4.1.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1.2.5.1

Subtraia $48$ de $- 64$ .

$\frac{- 112 + 288 + 108}{27}$

Etapa 1.4.1.2.5.2

Some $- 112$ e $288$ .

$\frac{176 + 108}{27}$

Etapa 1.4.1.2.5.3

Some $176$ e $108$ .

$\frac{284}{27}$

Etapa 1.4.2

Avalie em $x = 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Substitua $2$ por $x$ .

${(2)}^{3} - {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$8 - {(2)}^{2} - 8 \cdot 2 + 4$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 4$

Etapa 1.4.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$8 - 4 - 8 \cdot 2 + 4$

Etapa 1.4.2.2.1.4

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$8 - 4 - 16 + 4$

Etapa 1.4.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.2.1

Subtraia $4$ de $8$ .

$4 - 16 + 4$

Etapa 1.4.2.2.2.2

Subtraia $16$ de $4$ .

$- 12 + 4$

Etapa 1.4.2.2.2.3

Some $- 12$ e $4$ .

$- 8$

Etapa 1.4.3

Liste todos os pontos.

$(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27}), (2, - 8)$

Etapa 2

Exclua os pontos que não estão no intervalo.

$(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27})$

Etapa 3

Avalie nos pontos finais incluídos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie em $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua $- 2$ por $x$ .

${(- 2)}^{3} - {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 4$

Etapa 3.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- 8 - {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 + 4$

Etapa 3.1.2.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot - 2 + 4$

Etapa 3.1.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$- 8 - 4 - 8 \cdot - 2 + 4$

Etapa 3.1.2.1.4

Multiplique $- 8$ por $- 2$ .

$- 8 - 4 + 16 + 4$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Subtraia $4$ de $- 8$ .

$- 12 + 16 + 4$

Etapa 3.1.2.2.2

Some $- 12$ e $16$ .

$4 + 4$

Etapa 3.1.2.2.3

Some $4$ e $4$ .

$8$

Etapa 3.2

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua $0$ por $x$ .

${(0)}^{3} - {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 4$

Etapa 3.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - {(0)}^{2} - 8 \cdot 0 + 4$

Etapa 3.2.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 0 - 8 \cdot 0 + 4$

Etapa 3.2.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$0 + 0 - 8 \cdot 0 + 4$

Etapa 3.2.2.1.4

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$0 + 0 + 0 + 4$

Etapa 3.2.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0 + 4$

Etapa 3.2.2.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0 + 4$

Etapa 3.2.2.2.3

Some $0$ e $4$ .

$4$

Etapa 3.3

Liste todos os pontos.

$(- 2, 8), (0, 4)$

Etapa 4

Compare os valores de $f (x)$ encontrados para cada valor de $x$ para determinar o máximo e mínimo absolutos no intervalo determinado. O máximo ocorrerá no valor mais alto de $f (x)$ , e o mínimo ocorrerá no valor mais baixo de $f (x)$ .

Máximo absoluto: $(- \frac{4}{3}, \frac{284}{27})$

Mínimo absoluto: $(0, 4)$

Etapa 5