Cálculo Exemplos

$y = \frac{4 x - 6}{3 x + 8}$ , $x = 3$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 4 x - 6$ e $g (x) = 3 x + 8$ .

$\frac{(3 x + 8) \frac{d}{d x} [4 x - 6] - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{(3 x + 8) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(3 x + 8) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(3 x + 8) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\frac{(3 x + 8) (4 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2.5

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(3 x + 8) (4 + 0) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.6.1

Some $4$ e $0$ .

$\frac{(3 x + 8) \cdot 4 - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2.6.2

Mova $4$ para a esquerda de $3 x + 8$ .

$\frac{4 \cdot (3 x + 8) - (4 x - 6) \frac{d}{d x} [3 x + 8]}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2.10

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (3 + \frac{d}{d x} [8])}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2.11

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) (3 + 0)}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.12.1

Some $3$ e $0$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - (4 x - 6) \cdot 3}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 2.12.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{4 (3 x + 8) - 3 (4 x - 6)}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 8 - 3 (4 x - 6)}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (3 x) + 4 \cdot 8 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.3.1

Combine os termos opostos em $4 (3 x) + 4 \cdot 8 - 3 (4 x) - 3 \cdot - 6$ .

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Etapa 3.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $4 (3 x)$ e $- 3 (4 x)$ .

$\frac{3 \cdot 4 x + 4 \cdot 8 - 3 \cdot 4 x - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.2

Subtraia $3 \cdot 4 x$ de $3 \cdot 4 x$ .

$\frac{4 \cdot 8 + 0 - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.1.3

Some $4 \cdot 8$ e $0$ .

$\frac{4 \cdot 8 - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.2.1

Multiplique $4$ por $8$ .

$\frac{32 - 3 \cdot - 6}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $- 3$ por $- 6$ .

$\frac{32 + 18}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 3.3.3

Some $32$ e $18$ .

$\frac{50}{{(3 x + 8)}^{2}}$

Etapa 4

Avalie a derivada em $x = 3$ .

$\frac{50}{{(3 (3) + 8)}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{50}{{(9 + 8)}^{2}}$

Etapa 5.2

Some $9$ e $8$ .

$\frac{50}{17^{2}}$

Etapa 5.3

Eleve $17$ à potência de $2$ .

$\frac{50}{289}$